1、浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1ABCD是正方形，PA平面AC，且PA=AB，则二面角A-PD-B的度数为( )A BC D 【答案】C2如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A4B8C16D20【答案】A3已知点在平面内，并且对空间任一点， 则的值为( )ABCD 【答案】C4m和n是分别在两个互相垂直的面、内的两条直线，与交于l，m和n与l既不垂直
2、，也不平行，那么m和n的位置关系是 ( ）A可能垂直，但不可能平行B可能平行，但不可能垂直C可能垂直，也可能平行D既不可能垂直，也不可能平行【答案】D5已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为( )ABCD【答案】D6设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则 若，则若，则 若，则其中正确命题的序号是( )A和B和C和D和【答案】A7对于四面体，给出下列命题：相对棱与所在的直线异面；由顶点作四面体的高，其垂足是的三条高线的交点；若分别作和的边上的高，则这两条高所在直线异面；分别作出三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于
3、一点；最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱其中正确命题的个数为( )A1B2C3D4【答案】C 8点P（1,4，-3）与点Q（3，2，5）的中点坐标是( )A(4,2,2,)B(2,1,1,)C(2,-1,2,)D(4,-1,2,)【答案】B9把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )A 90B 60C 45D 30【答案】C10在棱柱中满足( )A 只有两个面平行B 所有面都平行C 所有面都是平行四边形D 两对面平行，且各侧棱也相互平行【答案】D11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中
4、E、F分别为棱DD1、BB1上的动点，且BF=D1E，设EF与AB所成角为，EF与BC所成的角为，则的最小值为( )ABCD无法确定【答案】C12一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是( )ABCD【答案】D第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13如图,在空间四边形中,已知是线段的中点,是的中点,若分别记为,则用表示的结果为 .【答案】14已知(1-t，1-t，t)，(2，t，t），则|的最小值为 。【答案】15棱长为1的正方体中到面ABCD的距离为 .【答案】116已知, , . 若将坐标平面沿x轴折成直二面角
5、, 则折后的余弦值为 【答案】，三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1BC，AC1平面A1BD，D为AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求证：B1C1平面ABB1A1；(3)在CC1上是否存在一点E，使得BA1E45，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由【答案】(1)连结AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点连结MD，又D为AC的中点，B1CMD，又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，B1C平面A1BD.(2)ABB1B，平行四边形
6、ABB1A1为正方形，A1BAB1.又AC1平面A1BD，AC1A1B，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)设ABa，CEx，B1C1A1B1，在RtA1B1C1中有A1C1a，同理A1B1a，C1Eax，A1E，BE，在A1BE中，由余弦定理得BE2A1B2A1E22A1BA1Ecos45，即a2x22a2x23a22ax2a，2ax，xa，即E是C1C的中点，D、E分别为AC、C1C的中点，DEAC1.AC1平面A1BD，DE平面A1BD.又DE平面BDE，平面A1BD平面BDE.18如图，在四棱锥P-AB
7、CD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.M为AB的中点(1）求证：BC/平面PMD(2）求证：PCBC；(3）求点A到平面PBC的距离.【答案】（1）因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.由BCD=900，得BCDC.又，平面PCD，平面PCD，所以BC平面PCD.因为平面PCD，所以PCBC.(2）如图，连结AC.设点A到平面PBC的距离h.因为ABDC，BCD=900，所以ABC=900.从而由AB=2，BC=1，得的面积.由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥的体积因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC. 又PD=
8、DC=1，所以.由PCBC，BC=1，得的面积.由，得.因此点A到平面PBC的距离为.19如图，在四面体中，点，分别是，的中点 (1)求证：平面平面； (2)若平面平面，且， 求三棱锥的体积【答案】 (1) 分别是的中点, . 又 ， . ，. ，面. 面，平面平面.(2) 面面，且, 面.由和，得是正三角形. 所以. 所以 . 20如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点.(I）求证：ADPC；(II）求三棱锥P-ADE的体积；(III）在线段AC上是否存在一点M，使得PA/平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由
9、.【答案】（I）因为PD平面ABCD. 所以PDAD. 又因为ABCD是矩形， 所以ADCD. 因为 所以AD平面PCD. 又因为平面PCD， 所以ADPC.(II）因为AD平面PCD，VP-ADE=VA-PDE， 所以AD是三棱锥APDE的高.因为E为PC的中点，且PD=DC=4，所以又AD=2，所以(III）取AC中点M，连结EM、DM， 因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM/PA，又因为EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA/平面EDM.所以即在AC边上存在一点M，使得PA/平面EDM，AM的长为.21如图，直三棱柱，点分别为和的中点(1）证明：；(2）若二面角为直二面角，求的
10、值【答案】（1）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面 平面，因此 (2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示设则，于是，所以，设是平面的法向量，由得，可取设是平面的法向量，由得，可取因为为直二面角，所以，解得22在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；() 求二面角的余弦值. 【答案】()证明：，. 又,是的中点， ， 四边形是平行四边形， . 平面，平面， 平面. () 解法1证明：平面，平面， 又，平面， 平面. 过作交于，则平面.平面， . ，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， ， 又平面，平面,平面. 平面,. 解法2平面，平面，平面，又,两两垂直. 以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. ，, . ()由已知得是平面的法向量.设平面的法向量为，即，令,得. 设二面角的大小为，则，二面角的余弦值为
