1、山西省太原市2020届高三数学模拟考试试题（二）文（含解析）一、选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算集合，根据交集的定义，与集合进行交集运算即可.【详解】,故选：A【点睛】本题考查集合的运算，涉及一元二次不等式的解及集合交集的计算，考查计算能力，属于基础题2.设复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出复数，然后利用复数模的计算公式求复数的模.【详解】由，有所以故选：B【点睛】本题考查了复数的运算性质和复数模的计算，在求解时，用到分母实数化，这是本题计算的关键步骤，要熟练掌握，属于基础题型.3.等比数列的前项和为，若
2、，则（ ）A. 18B. 10C. -14D. -22【答案】D【解析】【分析】由求和公式可得关于和的值，再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列的公比为，显然，由求和公式可得，可得，解得，代回可得，故选D【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将a，b，c的大小与比较，得到，再对a，c进行变形，判断a，c之间的大小即可.【详解】因为，而，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查指、对、幂比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.5.下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理.表示正整数除以正整数的
3、余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果.【详解】继续执行循环：继续执行循环：继续执行循环：继续执行循环：继续执行循环：继续执行循环：跳出循环，输出故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.6.已知sin（），则sin2x的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角余弦公式求解.【详解】设,则，,选C.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析判断能力，属基础题.7.函数的图象大致为（ ）A. B. C.
4、D. 【答案】A【解析】【分析】设，用导数法可得，从而有，可得确定选项【详解】设，所以，当时，当时，所以，所以，所以，所以，排除B，C，D.故选A【点睛】本题主要考查由函数的解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8.圆周率是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N人，让每人随机写出一对小于1的正实数a，b，再统计出a，b，1能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出的值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出0a1，0b1，构成的区域面积，然后利
5、用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型面积比即可求解.【详解】学校共有学生N人，每人随机写出一对小于1的正实数a，b，得到N个实数对（a，b），因为0a1，0b1，所以N个实数对（a，b）都在边长为1的正方形AOBC内，如图所示：若a，b，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以，即a2+b21，所以N对实数对落在单位圆x2+y2=1外的有M对，由几何概率的概率公式可得：，所以，故选：B.【点睛】本题考查了几何概型面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.9.已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（ ）A.
6、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，再由两边平方可得，代入公式可得答案.【详解】由，得，可得，即.由，可得，即整理得故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.10.过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点M（3，0）.若MAB的面积为，则|AB|=( )A. 2B. 4C. D. 8【答案】D【解析】【分析】设直线l的方程为x=ty+1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB|，根据三角形的面积求出|y1y2|=4，代入计算即可求解.【详解】抛物线y2=
7、4x的焦点F为（1，0），可设直线l的方程为x=ty+1，代入抛物线方程，可得y24ty4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=4t，y1y2=4，则|AB|.|y1y2| . .，MAB的面积为|MF|.|y1y2|2|y1y2|=4，即4，解得t=1，则|AB| .8，故选：D.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11.对于函数.有下列说法：值城为；当且仅当时，函数取得最大值；函数的最小正周期是；当且仅当时,.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，先得到，作出函
8、数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为，作出函数的图象，如图所示：所以，的值城为，错误；函数的最小正周期是，错误；当且仅当时，函数取得最大值，正确；当且仅当时，正确.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数与余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.12.三棱锥中，为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为.则三棱锥体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知作出图象，找出二面角的平面角，设出的长，即可求出三棱锥的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有长度的字母表示），再设出球
9、心，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得的长度，则三棱锥体积的最大值可求.【详解】如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，则为二面角的平面角的补角，即有，易知面，则，而为等边三角形，为中点，设，则c，故三棱锥的体积为：，当且仅当时，体积最大，此时共线.设三棱锥的外接球的球心为，半径为，由已知，得.过点作于F，则四边形为矩形，则， ，在中，解得三棱锥的体积的最大值为：.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题.二、填空题13.若曲线在处的切线
10、方程为，则_【答案】【解析】【分析】先将代入切线方程求出切点坐标，然后代入曲线方程得，的一个方程，然后求出曲线在处的导数，令其等于，得另一个关于，的一个方程，联立求解即可.【详解】解：将代入，得切点为，又，.联立解得：，故.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线上一点，若为等腰三角形，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】在中利用余弦定理可得，再利用双曲线的定义可得关系，即可得到答案；【详解】为等腰三角形，故答案为： .【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、双曲线的离心率，考
11、查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.已知中，、分别是内角、的对边，则面积的最大值是_.【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本关系式的应用求出结果.【详解】解：因为，所以，整理得,所以，由正弦定理得，因为 ，所以，因为，所以，整理得9，（当且仅当时等号成立），所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为，故答案为：【点睛】此题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式的应用，基本不等式的应用，考查运算能力和转换能力，属于中档题.16.中国
12、古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛甲、乙、丙三位同学进行了决赛决赛规则：决赛共分场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为，选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为分，乙和丙最后得分都为分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：每场比赛第一名得分分；甲可能有一场比赛获得第二名；乙有四场比赛获得第三名；丙可能有一场比赛获得第一名.则以上说法中正确的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据总分得到，根据甲得分得到，计算，得到每个选手的得分情况，得到答案.【详解】根据题意：，故，甲不全部得到第一，故，故，
13、即，故，.故甲有5个第一，0个第二，1个第三；乙有1个第一，1个第二，4个第三；丙有0个第一，5个第二，1个第三.对比选项知：正确.故答案为：.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.三、解答题17.已知数列的前项和为，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）若，.求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件可得，给等式两边同时减1得，从而可证得数列是以3为公比，3为首项的等比数列；（2）由（1）可求得，从而可求出，所以，然后利用裂项求和的方法可求得.【详解】解：（1）当时，得，当时，则，即，数列是以为首项，公比为的等比数列.（2）由（）得，.
14、【点睛】此题考查了由递推式证明等比数列，裂项求和的方法，属于中档题.18.按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm）：d等级三级品二级品一级品特级品特级品频数1m29n7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个.（1）估计这批水果中特级品的比例；（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A：以6.5元/斤收购；方案B
15、：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.【答案】（1）这批水果中特级品的比例为58%；（2）方案B种植户的收益更高，详见解析.【解析】分析】（1）由题意结合分层抽样的特征可得，解方程求得n=51后，即可得解；（2）分别计算出选择两个方案的的收益，比较大小即可得解.【详解】（1）由题意，解得m=12，n=51，所以特级品的频率为，所以可估计这批水果中特级品的比例为58%；（2）选用方案A，种植户收益为（元）；选用方案B，由题意可得种植户的收益为：；由可得选择B方案种植户的收
16、益更高.【点睛】本题考查了分层抽样性质的应用，考查了利用频率估计样本总体的应用，关键是对于题意的理解，属于基础题.19.如图，已知四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，是的中点，点在上，且.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）过作于，连结，根据，是的中点，利用平面几何的知识，得到，再结合，即，得到，利用线面垂直的判定定理得到面即可.（2）由（1）知，平面，将点到平面的距离转化为点到平面的距离，根据侧面底面，得到侧面，设点到平面的距离为，利用等体积法由求解.【详解】（1）如图所示：过作于，连结，因为，是的中点，所以，所以，底面是正方形，即，是矩
17、形，又，面，又面，.（2）由（1）知，平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，底面是正方形，侧面底面，侧面，在三棱锥中，设点到平面的距离为，由于，在侧面中，是中点，即点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查线面垂直与线线垂直的转化，点到面的距离以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，一个顶点为，直线交椭圆于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率以及性质，列出方程组，求解即可；（2）设出直线的方程为，将直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，将转化为数量积为
18、0，求出的值，即可证明直线过定点.【详解】解：（1）由题意得解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，直线斜率存在，设方程为，由，得得，所以，即代入整理得即，解得，（舍）所以直线过定点.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中直线过定点问题，属于中档题.21.已知.（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，对任意满足的正实数，都有.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由求导得到，再分和两种情况结合零点存在定理讨论求解.（2）当时，由，得到，然后两式相减解得，令，则，然后构造函数，用导数法证明即可.【详解】（1）的定义域是，.当时，在定义域上单调递增，不可能有两个零
19、点；当时，由，得，当时，在定义域上单调递减；当时，的定义域上单调递增；时，取得极小值.因为有两个零点，所以，解得，在有唯一实数根：取，设，所以在上递减，所以，即，则，在有唯一实数根.综上，的取值范围是.（2）当时，由，得，两式相减得：，则，令，则，设，在上为增函数，又，即.【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，导数与不等式的证明以及零点存在定理，还考查了分类讨论的思想和转化求解问题的能力，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（）
20、射线与曲线C2交于O，P两点，射线与曲线C1交于点Q，若OPQ的面积为1，求|OP|的值.【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）由曲线C1的参数方程消去参数t，即得曲线C1的普通方程. 由曲线C2的参数方程消去参数，得曲线C2的普通方程，根据，即得曲线C2的极坐标方程；（）由（）知，曲线C2的极坐标方程为，设点.曲线C1的普通方程化为极坐标方程得，则点.由，求出，即求的值.【详解】（）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t，得曲线C1直角坐标方程为：.曲线C2的参数方程为（为参数），消去参数，得直角坐标方程为，根据，得曲线C2的极坐标方程为.（）由曲线C2的极坐标方程为，设点.由于直
21、线C1的极坐标方程为，可得点， .|OP|4cos.【点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，属于中档题.23.已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1.（）证明：；（）证明：.【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（）每个式子通分后把1用代换后分子应用基本不等式可证结论；（）变形，三个分式中分子提取出来并变为，即原不等式左边，再用柯西不等式可证得结论【详解】证明：（），当且仅当“a=b=c”时取等号；（），当且仅当“a=b=c”时取等号.【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题
