1、数学参考答案第1页共12页2023 年福州市普通高中毕业班质量检测数学试题参考答案与评分细则 一、单项选择题：1-8 DBCABDCD8【解析】因为()()32f xg x+=，所以()()32+=f xg x，又()()12fxg x+=，则 有()()31+=f xfx，因 为()1f x+是 奇 函 数，所 以()()11+=f xfx，可 得()()31+=+f xf x，即有()()2+=f xf x 与()()42+=+f xf x，即()()4+=f xf x，所以()f x 是周期为 4 的周期函数，故()g x 也是周期为 4 的周期函数.因为()()2=+fxf x，所以(
2、)()fxf x=，所以()f x 为偶函数.故 A 错误；由()1f x+是奇函数，则()10f=，所以()30f=，又()()()()24200+=+=ffff，所以()()()()()201512340kf kffff=+=，所以 C 选项错误；由()10f=得()02g=，所以 B 选项错误；因为()()()225212gff=，()()()()()(1)324264424ggffff+=+=+=，所以()()()()01238gggg+=，所以()()()()()2015012340kg kgggg=+=，所以 D 选项正确.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
3、 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.BCD10.BD11.BC12.AD12【解析一】由2213324xyy+=，令13cos,233sin,2xyy+=可得3cossin,2sin,xy=故 22 3cos2sin2sin2 3cos2 3,2 3xy+=+=，故 A 正确；B 错误；()2232323cossin2sin54sin 21,96xyxyxy+=+，故 C 错误；D正确，故选 AD.12【解析二】令 2xyt+=，则2ytx=代入223xxyy+=，整理可得，223330 xtxt+=，因为 xR，所
4、以()()22291233120ttt=，解得 2 32 3t，故 A 正确；B 错数学参考答案第2页共12页误；由222233xxyyxyxy+=，因为22 2xyxy+，所以32xyxy，所以31xy，又2232xxyyxy+=，从而1 329xy，故 C 错误；D 正确，故选 AD.12【解析三】令 xuv=+，yuv=，代入223xxyy+=，得2213vu+=，令cos,3sinuv=（0,2）.s23cos3sin2 3 in2 3,3323xyuv+=+=+=，故 A 正确，B 错误；22222223scos9 in18sin1,9xyxyuv+=+=+，故 D 正确，C 错误；
5、故选 AD.三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.24714.0.6415.1116.40 xy+=15【解析一】：令32()362f xxxx=+，则()2366fxxx=+，设(),1P m，()(),Q n f n，依题意()()fmfn=，所以22366366mmnn+=+，则()222mnmn=，显然mn，则2mn+=，因为()()()31316f xxx=+，所以()f x 的图象关于点()1,6 中心对称，所以点 P 与点Q 关于点()1,6 对称，所以()162f n+=，则()11.f n=15【解析二】：令32()362f xxxx=+，因为()
6、()23130fxx=+，故()f x 在 R 上单调递增，令323621xxx+=，设其根为Px，得32361PPPxxx+=.由于()f x 在点 P 处的切线与在点 Q 处的切线平行，得()fxk=存在两实根，其中一个为Px，设另一个为Qx.即2366xxk+=两根为Px，Qx，由韦达定理得2PQxx+=，则2QPxx=，从而()3232362(2)3(2)6(2)2QQQQPPPf xxxxxxx=+=+322326128312121262(36)1011PPPPPPPPPxxxxxxxxx=+=+=.16【解析一】：由条件得 B 点为线段 MN 中点，设 B 点坐标为00(,)xy，
7、得0(2,0)Mx、0(0,2)Ny，由|:|1:2MAAB=得 A 坐标为005(,)33xyA，将 A、B 坐 标 分 别 代 入221126yx+=中，得220022001,126251,12969xyxy+=+=解得002,2,xy=则 M、N 坐标分别为(4,0)、(0,4)，直线l 的方程为40 xy+=.BANMOxy数学参考答案第3页共12页16【解析二】：设直线 l 方程为 ykxm=+（,0k m），可得,0mMk，()0,Nm，根据|:|:|1:2:3MAABBN=得 A,B 坐标分别为5,66m mk,22m mk.将 A,B 坐标代入C 方程中，可得 22222225
8、1,63612361,64124mmkmmk+=+=即2222222225212 36,2124,mm kkmm kk+=+=两式相减得4mk=，将其代入22222124mm kk+=，得1k=，从而直线l 的方程为40 xy+=.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 10 分）【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、基本不等式等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性和综合性.满分 10 分.【解析一】（1）由余弦定理可得222
9、2cos=+bcaacB，代入2222bac=，得到2222(2cos)2+=caacBac，1 分化简得22cos0+=cacB，即2 cos0caB+=，2 分由正弦定理可得sin2sincos0CAB+=，即()sin2sincos0+=ABAB，3 分sincoscossin2sincos0ABABAB+=，3sincoscossinABAB=，4 分可得 tan3tanBA=.5 分（2）由（1）可知 tan3tanBA=，所以 tan A 与 tan B 异号，又22220bac=，故ba，则有 BA，因为,(0,)A B，故 A 为锐角，B 为钝角，则C 为锐角，6 分所以()2
10、2tantantan3tan2tantantantantan13tan13tan1ABAAACABABAA+=+=+7 分223132 33tantanAA=+，8 分等号当且仅当3tan3A=，即6A=时成立，9 分所以C 的最大值为 6.10 分数学参考答案第4页共12页【解析二】（1）由正弦定理可得：sinsinBbAa=，1 分由余弦定理可得：222222cos2cos2bcaAbcacbBac+=+，2 分则222222222222tansincos2tansincos2bcaBBAbbcabcacbAABaacbac+=+，3 分因为2222bac=，所以2222tan23tan2
11、BccAcc+=.5 分（2）222cos2+=abcCab 6 分222222+=baabab 7 分2234+=abab344=+abba 32 1632=.8 分所以6C，等号当且仅当223=ba 时，即3=ba 时成立，9 分所以C 的最大值为 6 10 分【解析三】（1）由2222bac=，由正弦定理可得，222sinsin2sinBAC=，1 分因为22222222sinsinsinsinsinsinsinsinBABBABAA=+22222222sin(1sin)sin(1sin)sincossincosBAABBAAB=()()(sincoscossin)(sincoscoss
12、in)sinsinBABABABAABBA=+=+，3 分又因为ABC+=，所以()sinsinCAB=+，所以()()()2sinsin2sin+=+ABBAAB，因为0AB+，所以()sin0AB+，所以()()sin2sinBAAB=+，化简得 3sincossincosABBA=，4 分可得 tan3tanBA=.5 分（2）同解析一.10 分数学参考答案第5页共12页FEBDCAPxGOFEBDCAPyz18.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查空间几何体点、线、面位置关系、直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想，数
13、形结合思想等；导向对发展直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养的关注；体现基础性与综合性.满分 12 分.【解析】（1）取 PD 中点 F，连接 AF、EF.EFCD，12EFCD=，ABCD，12ABCD=，EFAB，EFAB=，1 分四边形 ABEF 为平行四边形，BEAF，3 分又 BE 平面 PAD，AF 平面 PAD，BE平面 PAD.4 分（2）取 AD 中点 O，BC 中点 G，连接,PO OG，可得 POAD，OGCD.平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD=，POAD，PO 平面 PAD，PO 平面 ABCD.5 分 ADCD，OGCD，OGOA.6 分
14、以 O 为原点，以 AD OG OP,所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.7 分因为2,4,2 3ABCDAD=，PAD是等边三角形，所以2 3PDAD=，132OAAD=，223POPDOD=，所以()3,0,0A，()3,2,0B，()3,4,0C，()0,0,3P.则()0,2,0AB=，()2 3,2,0BC=，()3,2,3BP=.9 分设平面 PBC 的法向量为(),x y z=n，由0BC=n，0BP=n，可得2 320,3230,xyxyz+=+=令1x=，可得3,3yz=，从而()1,3,3=n是平面 PBC 的一个法向量.10 分则2 321co
15、s,727|ABABAB=nnn，11 分所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为217.12 分数学参考答案第6页共12页19.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查数列通项，数列求和等基础知识；考查欧拉函数概念的理解和应用；考查逻辑推理能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、特殊与一般思想等；导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性、应用性与创新性.满分 12 分.【解析】（1）不超过9，且与其互质的数即为1,9 中排除掉3,6,9 剩下的正整数，则()223336=；2 分不超过 27，且与其互质的数即为1,27 中排除掉3,6,9,12,
16、15,18,21,24,27 剩下的正整数，则()3333918=.4 分（2）因为32,3kk（11,2,3nk=）中与3n 互质的正整数只有32k 与31k 两个，所以 1,3n 中与 3n 互质的正整数个数为12 3n，所以()132 3nn=，()1111323322nnnna=，7 分所以31log13nnnana=.8 分设数列3lognnaa的前 n 项和为nT.1211210333nnnT=+，23112103333nnnT=+，9 分11211111111113331133333313nnnnnnnT=+=10 分11112233nnn=121223nn+=，11 分则13
17、1213212 22 344 3nnnnnT+=.12 分说明：不超过3n，且与其互质的正整数即为排除掉3的倍数的数，在每相邻的三个正整数中排除掉是3的倍数的数即可，可得()11113(33)322nnnnna=，学生若这样写，同样可以给 3 分.20.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查分层抽样得到样本的均值与方差、正态分布和二项分布等基础数学参考答案第7页共12页知识；考查数据处理能力、应用意识和创新意识等，考查统计与概率思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注；体现综合性、应用性与创新性.满分 12 分.【解析一】（1）把男性样本记为12120
18、,x xx，其平均数记为 x，方差记为2xs；把女性样本记为1290,y yy，其平均数记为 y，方差记为2ys.则214,6xxs=；221,17yys=.记总样本数据的平均数为 z，方差为2s.由14x=，21y=，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为120901209012090=+zxy 2 分120 149021210+=17=，3 分根据方差的定义，总样本方差为()()12090222111210iiiisxzyz=+4 分()()1209022111210iiiixxxzyyyz=+，由()120120111200iiiixxxx=，
19、可得()()()()12012011220iiiixxxzxzxx=，同理，()()()()909011220iiiiyyyzyzyy=，5 分因此，()()()()12012090902222211111210iiiiiisxxxzyyyz=+()()2222112090210 xysxzsyz=+，6 分所以()()222112061417901721 1723210s=+，所以总样本的均值为17，方差为 23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为 23.7 分（2）由（1）知223=，所以()17,23XN，又因为234.8，所以()()12.221.817
20、4.8174.80.6827PXPX=+，8 分()()112.210.68270.158652P X=，9 分数学参考答案第8页共12页因为()3,0.15865XB，10 分所以()3333C0.158650.004P X=.11 分所以 3 位参与者的脂肪含量均小于 12.2%的概率为 0.004.12 分【解析二】（1）把男性样本记为12120,x xx，其平均数记为 x，方差记为2xs；把女性样本记为1290,y yy，其平均数记为 y，方差记为2ys.则214,6xxs=；221,17yys=.记总样本数据的平均数为 z，方差为2s.由14x=，21y=，根据按比例分配的分层随机抽
21、样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为120901209012090=+zxy 2 分120 149021210+=17=，3 分根据方差的定义，总样本方差为()()12090222111210iiiisxzyz=+4 分221201201209022111112120290210iiiiiiiixzxzyzyz=+()12090222111212090210210iiiixyzxyz=+120902221112210210210iiiixyzzz=+12090222111210210iiiixyz=+12090222111210iiiixyz=+，5 分由()1201202
22、2221111120120 xiiiisxxxx=，可得()1202221120ixixsx=+，同理()90222190iyiysy=+，将代入得()()222222112090210 xyssxsyz=+6 分()()22211206149017211723210=+，所以总样本的均值为17，方差为 23，数学参考答案第9页共12页并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为 23.7 分（2）同解析一.12 分21.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观
23、想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；导向对发展直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注；体现综合性与创新性.满分 12 分.【解析一】（1）当 1l 的斜率为 23 时，得 1l 方程为2(2)3yx=+，1 分由22,2(2),3ypxyx=+消元得2340ypyp+=，2 分由弦长公式得223|1()(3)16132ABpp=+=，3 分即29162pp=，解得2p=或29p=（舍去），从而 E 的标准方程为24yx=.4 分（2）设211(,)4yAy，222(,)4yBy，得21222112444AByykyyyy=+，直线 AB 方程为211
24、124()4yyxyyy=+，即12124()0 xyyyy y+=，5 分又直线 AB 过点(2,0)，将该点坐标代入直线方程，得128y y=.6 分设233(,)4yCy，244(,)4yDy，同理可得348y y=，7 分直线 AD 方程为14144()0 xyyyy y+=，8 分直线 BC 方程为23234()0 xyyyy y+=，9 分因为(2,0)在抛物线的对称轴上，由对称性可知，交点G 必在垂直于 x 轴的直线上，所以只需证G 的横坐标为定值即可.由141423234()0,4()0,xyyyy yxyyyy y+=+=消去 y，因为直线 AD 与 BC 相交，所以2314
25、yyyy+，解得231414232314()()4()()y yyyy yyyxyyyy+=+，10 分xyGCABD数学参考答案第10页共12页12323412413423144()()y y yy y yy y yy y yyyyy+=+3241231488884()()yyyyyyyy+=+2=，11 分所以点G 的横坐标为 2，即直线 AD 与 BC 的交点G 在定直线2x=上.12 分【解析二】（1）同解析一.4 分（2）设直线 AB 的方程为1(2)yk x=+，由12(2),4,yk xyx=+=消去 x 得211480k yyk+=，5 分设211(,)4yAy，222(,)4
26、yBy，则128y y=.6 分设直线CD 的方程为2(2)ykx=+，233(,)4yCy，244(,)4yDy，同理可得348y y=.7 分直线 AD 方程为241112241()444yyyyyxyy=，即1441414y yyxyyyy=+，化简得14144()0 xyyyy y+=，8 分同理，直线 BC 方程为23234()0 xyyyy y+=，9 分因为(2,0)在抛物线的对称轴上，由对称性可知，交点G 必在垂直于 x 轴的直线上，所以只需证G 的横坐标为定值即可.由141423234()0,4()0,xyyyy yxyyyy y+=+=消去 y，因为直线 AD 与 BC 相
27、交，所以2314yyyy+，解得231414232314()()4()()y yyyy yyyxyyyy+=+，10 分12323412413423144()()y y yy y yy y yy y yyyyy+=+3241231488884()()yyyyyyyy+=+2=，11 分所以点G 的横坐标为 2，即直线 AD 与 BC 的交点G 在定直线2x=上.12 分【解析三】（1）同解析一.4 分 数学参考答案第11页共12页（2）设直线 AB 方程为2xmy=，由22,4,xmyyx=消去 x 得2480ymy+=，5 分设211(,)4yAy，222(,)4yBy，则128y y=.6
28、 分设直线CD 的方程为2xny=，233(,)4yCy，244(,)4yDy，同理可得348y y=.7 分直线 AD 方程为241112241()444yyyyyxyy=，即1441414y yyxyyyy=+，化简得14144()0 xyyyy y+=，8 分同理，直线 BC 方程为23234()0 xyyyy y+=，9 分因为(2,0)在抛物线的对称轴上，由对称性可知，交点G 必在垂直于 x 轴的直线上，所以只需证G 的横坐标为定值即可.由141423234()0,4()0 xyyyy yxyyyy y+=+=，消去 y，因为直线 AD 与 BC 相交，所以2314yyyy+，解得2
29、31414232314()()4()()y yyyy yyyxyyyy+=+，10 分12323412413423144()()y y yy y yy y yy y yyyyy+=+3241231488884()()yyyyyyyy+=+2=，11 分所以点G 的横坐标为 2，即直线 AD 与 BC 的交点G 在定直线2x=上.12 分22.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查函数的单调性、最值，不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类与整合思想，特殊与一般思想等；导向对数学抽象，数学建模，数学运算核心素
30、养的关注；体现综合性和创新性.满分 12 分.【解析】（1）()1ln1fxxx=+，1 分记1()ln1g xxx=+，则()22111xgxxxx=，数学参考答案第12页共12页所以()0,1x，()0gx，所以()g x 单调递减；()1,x+，()0gx，所以()g x 单调递增；2 分所以()()min10g xg=，所以()0g x，即()0fx，且仅有()10f=，所以()f x 为()0,+上的增函数.3 分（2）（）由（1）得()1ln1fxxax=+，()21xgxx=，因为()1,x+，所以()0gx，所以()fx单调递增，所以()()12fxfa=，4 分当2a时，()
31、0fx，所以()f x 为递增函数，所以()()10f xf=，满足题意；5 分当2a 时，()20fxa=，1(e)10eaaf=+，又由()fx单调递增，所以()fx有唯一零点0 x，6 分则()00,xx时，()0fx，()f x 单调递减，所以()()010f xf=，不合题意，舍去.综上，(,2a.7 分（）经计算：10.5a=，()270.5,0.612a=，()3370.6,0.760a=.8 分因为1111110212212122nnaannnnn+=+=+，所以数列 na单调递增，所以，当1n=或 2 时，0.50.6na；当3n时，30.6naa.9 分当2a=时，由（）可知，此时()0f x，即()()21ln11xxxx+，令()2111xxk=+，则2121kxk+=，则有 121ln 21kkk+，10 分令1,2,2knnn=+，则有11123254141lnlnlnln12221234121nnnnnnnnnnn+=+，11 分因为411lnln 2ln20.72121nnn+=+，所以当3n时，0.60.7na.所以，当1n=或 2 时，105na=；当3n时，106.na=12 分
