1、塘沽一中2020-2021学年度第一学期高二期末复习卷一（解析版）1. 抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是 ( )A. 12B. 32C. 1D. 3【答案】D2. 已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是数列an的前n项和，则S9等于()A. -8B. -6C. 10D. 0【答案】D【解答】解：a1，a3，a4成等比数列，a32=a1a4，(a1+22)2=a1(a1+32)，化为2a1=-16，解得a1=-8则，故选D3.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则( )A. AB与AC是共线向量B. AB的
2、单位向量是255,-55,0C. AB与BC夹角的余弦值是5511D. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)解：AB=(2,1，0)，AC=(-1,2，1)，ABAC，所以AB与AC不共线，所以A错误;AB的单位向量为(255,55,0)或(-255,-55,0)，所以B错误;BC=(-3,1，1)，所以，所以C错误;设平面ABC的法向量是n=(x,y，z)，则ABn=0ACn=0，即2x+y=0-x+2y+z=0，所以x:y:z=1:(-2):5，所以D正确故选D4.数列an，bn满足a1=b1=2，an+1-an=bn+1bn=2，nN*，则数列ban的前n项和为( )A. 43(4n
3、-1-1)B. 43(4n-1)C. 13(4n-1-1)D. 13(4n-1)【答案】B【解答】解：由an+1-an=bn+1bn=2，所以数列an是等差数列，且公差是2，bn是等比数列，且公比是2又因为a1=2，所以an=a1+(n-1)d=2n所以ban=b2n=b122n-1=222n-1=22n设cn=ban，所以cn=22n，所以当n1时，cncn-1=4，所以数列cn是等比数列，且公比为4，首项为4由等比数列的前n项和的公式得：其前n项的和为4(1-4n)1-4=43(4n-1)故选B5.过点M(1,2)的直线l与圆C：(x-2)2+y2=9交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小
4、时，直线l的方程为( )A. x=1B. y=1C. x-y+1=0D. x-2y+3=0【答案】D【解答】解：把点M(1,2)代入圆的方程左边得：(1-2)2+22=50,b0)的一个焦点，A1，A2是C的两个顶点，C上存在一点P，使得PF1与以A1A2为直径的圆相切于Q，且Q是线段PF1的中点，则C的渐近线方程为()A. y=33xB. y=3xC. y=12xD. y=2x【答案】C【解答】解：由于O为F1F2的中点，Q为线段PF1的中点，则由中位线定理可得OQ/PF2，|OQ|=12|PF2|，由PF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点Q，则|OQ|=a，|PF2|=2a，由双曲线的定
5、义可得，|PF1|-|PF2|=2a，即有|PF1|=4a，由OQPF1，由勾股定理可得a2+(2a)2=c2，即5a2=a2+b2，则4a2=b2，即ab=12C的渐近线方程为y=abx=12x故选：C8.已知数列an的前n项和为Sn且满足an+3SnSn-1=0(n2),a1=13，下列命题中错误的是( )A. 1Sn是等差数列B. Sn=13nC. an=-13n(n-1)D. S3n是等比数列【答案】C【解答】解：当n2时，an=Sn-Sn-1，an+3SnSn-1=0，即Sn-Sn-1+3SnSn-1=0，Sn0，等式两边同时除以SnSn-1得1Sn-1-1Sn+3=0，即1Sn-1
6、Sn-1=3，因此，数列1Sn是等差数列;因为a1=13=S1，所以数列1Sn是以1S1=3为首项，以3为公差的等差数列，1Sn=3+3(n-1)=3n，则Sn=13nan+3SnSn-1=0(n2)，得an=-3SnSn-1=-313n13(n-1)=-13n(n-1)a1=13不适合an=-13n(n-1)综上所述，an=13,n=1-13n(n-1),n2因为Sn=13n.所以S3n=133n=13n+1所以S3n+1S3n=13n+213n+1=13，所以S3n是等比数列故选C9.已知数列an满足，设数列bn满足：bn=2n+1anan+1，数列bn的前n项和为Tn，若恒成立，则实数的
7、取值范围为( )A. 14,+B. 14,+C. 38,+D. 38,+【答案】D【解析】解：数列an满足a1+12a2+13a3+1nan=n2+n，n=1时，a1=2，当n2时，a1+12a2+13a3+1n-1an-1=(n-1)2+(n-1)，-得：1nan=2n，即an=2n2，n2，a1=2也满足上式，故：an=2n2，数列bn满足：bn=2n+1anan+1=2n+14n2(n+1)2=141n2-1(n+1)2，则：Tn=141-(12)2+(12)2-(13)2+1n2-1(n+1)2，=14(1-1(n+1)2)，由于Tnnn+1(nN*)恒成立，故：14(1-1(n+1)
8、2)n+24n+4(nN*)恒成立，因为y=n+24n+4=14(1+1n+1)在nN*上单调递减，当n=1时，(n+24n+4)max=38故38，故选：D10.已知C：x2+y2-4x-6y-3=0，点M(-2,0)是C外一点，则过点M的圆的切线的方程是_【答案】x+2=0或7x+24y+14=0解：由题意得圆C：(x-2)2+(y-3)2=16，圆C是以(2,3)为圆心，4为半径的圆当直线的斜率不存在时，x=-2，与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，可设切线l的方程为y=k(x+2)由圆C到直线l的距离等于半径，可得d=|4k-3|1+k2=4解得k=-724所以切线方程为x+2=0或
9、7x+24y+14=0故答案为x+2=0或7x+24y+14=0 11.已知双曲线过点A(3,-2)，且与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，则该双曲线的方程是_【答案】x23-y22=1【解答】解：因为椭圆x29+y24=1的焦点为-5,0和5,0，所以双曲线的的焦点为-5,0和5,0，因此可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1且a2+b2=5又因为点A(3,-2)在该双曲线上，所以9a2-4b2=1由a2+b2=59a2-4b2=1解得a2=3b2=2,因此该双曲线的方程是x23-y22=1故答案为x23-y22=112.已知圆C:x2+y2=4与圆D:x2+y2-4x+2y+4=0相交
10、于A，B两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为_，公共弦AB的长为_【答案】2x-y-4=0；455【解答】解：圆C:x2+y2=4与圆D:x2+y2-4x+2y+4=0，两式相减可得：4x-2y-8=0，直线AB的方程为：2x-y-4=0；圆C：x2+y2=4的圆心为C(0,0)，半径为r=2，由圆心C(0,0)到直线AB的距离为d=-422+(-1)2=455，弦长AB=2r2-d2=222-(455)2=2255=455，故答案为2x-y-4=0；45513.已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1(nN*)，则数列an的前n项和Sn=_【答案】14(3n+1-2n-3)(nN*)【
11、解答】解：由a1=1，an+1=3an+1，可设an+1+t=3(an+t)，即an+1=3an+2t，可得2t=1，即t=12，则an+1+12=3(an+12)，可得数列an+12是首项为32，公比为3的等比数列，即有an+12=323n-1，即an=323n-1-12，可得数列an的前n项和Sn=32(1+3+32+3n-1)-12n=321-3n1-3-12n=14(3n+1-2n-3)(nN*).故答案为14(3n+1-2n-3)(nN*).14.在各项均为正数的等比数列an中公比q0,1，若a3+a5=5,a2a6=4，bn=log2an，记数列bn的前n项和为Sn，则S11+S2
12、2+Snn的最大值为_【答案】18解：因为an为各项均为正数的等比数列，所以由a3+a5=5,a2a6=a3a5=4，得a3，a5为方程x2-5x+4=0的两根，又q0,1，所以a3=4，a5=1，得q2=a5a3=14，即q=12，所以an=a3qn-3=12n-5，得bn=log2an=5-n，所以bn为等差数列，所以Sn=n(b1+bn)2=n(9-n)2，则Snn=9-n2，即数列Snn为等差数列，所以，所以当n=8或9时，S11+S22+Snn最大，最大值为18故答案为1815.设点P是曲线x23-y2=1(x0)上一动点，点Q是圆x2+(y-2)2=1上一动点，点A(-2,0)，则
13、PA+PQ的最小值是_【答案】22+23-1【解析】【分析】本题考查双曲线的定义，双曲线的性质和几何意义，点与圆的位置关系，属于中档题通过双曲线的定义得PA+PQ=PQ+PF+23，再利用数形结合即可求解【解答】解：设双曲线x23-y2=1的右焦点为F(2,0)，圆x2+(y-2)2=1的圆心为M(0,2)，如图所示：由双曲线的定义得|PA|-|PF|=23，所以PA+PQ=PQ+PF+23FQ+23FM-MQ+23=22+23-1，当且仅当P，Q分别为线段FM与双曲线的右支，圆的交点时取等号故|PA|+|PQ|的最小值为22+23-1故答案为：22+23-116.已知关于x，y的方程C：x2
14、+y2-2x-4y+m=0(1)若方程C表示圆，求m的取值范围；(2)若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切，求m的值；(3)若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=455，求m的值【答案】解：(1)把方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，配方得(x-1)2+(y-2)2=5-m，若方程C表示圆，则，解得，故m的取值范围为-,5；(2)把圆x2+y2-8x-12y+36=0，化为标准方程得(x-4)2+(y-6)2=16，所以圆心坐标为(4,6)，半径为R=4，则两圆心间的距离d=(4-1)2+(6-2)2=5，因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r，即4+
15、5-m=5，解得m=4，故m的值为4；(3)因为圆心C的坐标为(1,2)，所以圆心C到直线l的距离d=15=55，所以(5-m)2=(12|MN|)2+d2=(255)2+(55)2，即5-m=1，解得m=4，故m的值为417.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB/CD，且CD=2，AB=1，BC=22,PA=1，ABBC，N为PD的中点(1)求证：AN/平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由【答案】解：过A作AECD于点E，
16、则DE=1，以A为原点，AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，0)，B(0,1，0)，E(22,0，0)，D(22,-1,0)，C(22,1，0)，P(0,0，1)，N为PD的中点，N(2,-12,12).(1)AN=(2,-12,12)，BP=(0,-1,1)，BC=(22,0，0)设平面PBC的法向量为m=(x,y，z)，则mBP=-y+z=0mBC=22x=0，令y=1，则x=0，z=1，m=(0,1，1)，ANm=-12+12=0，即ANm，又AN平面PBC，AN/平面PBC(2)由(1)知，AP=(0,0，1)，AD=(22,-1,0
17、)，设平面PAD的法向量为n=(a,b，c)，则nAP=c=0nAD=22a-b=0，令a=1，则b=22，c=0，n=(1,22,0)，cos=mn|m|n|=2223=23故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为23(3)令DM=DP，0,1，设M(x,y，z)，(x-22,y+1,z)=(-22,1，1)，M(22-22,-1,)，CM=(-22,-2,)由(1)知，平面PBC的法向量为m=(0,1，1)，直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626，2626=|CMm|CM|m|=|2-2|82+(-2)2+22，化简得212-50+24=0，即(3-2)(7-12)=0，0,1
18、，=23，故DMDP=2318.等比数列an的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32，数列bn的前n项和Sn=(n+1)bn2，nN*，且b1=1()求数列an和bn的通项公式；()设cn=b2n+5b2n+1b2n+3an,nN*，求证：k=1nck0，所以q0，且2q2+q-1=0，解得q=12或q=-1(舍)，因为a4=4a32=4a2a4，所以a2=14所以a1=12所以数列an的通项公式为an=(12)n(nN*)当n2时，bn=Sn-Sn-1=(n+1)bn2-nbn-12整理得(n-1)bn=nbn-1，即bnn=bn-1n-1(n2)所以数列bnn是
19、各项均为b11=1的常数列所以bnn=1，即bn=n，所以数列bn的通项公式为bn=n；(II)证明：由(I)得cn=b2n+5b2n+1b2n+3an=2n+5(2n+1)(2n+3)12n=(22n+1-12n+3)12n=1(2n+)2n-1-1(2n+3)2n=1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n，所以k=1nck=(1320-1521)+(1521-1722)+1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n=13-1(2n+3)2nb0)的左、右焦点F1，F2，离心率为12，点M是椭圆上的动点，MF1F2的最大面积是3()求椭圆C的方程；()圆E经过椭圆的左右焦点，且与椭圆C在第一
20、象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于两点P，Q，且PQ=OA(0)(i)求直线OA的斜率；(ii)当APQ的面积取到最大值时，求直线l的方程【答案】解：()由题意e=ca=12，a=2c，b=3c，MF1F2的最大面积为：122cb=c3c=3，所以c=1，所以椭圆的方程为：x24+y23=1；()(i)因为圆E经过椭圆的左右焦点，所以圆心E在y轴上，设点E(0,y0)，因为圆E与椭圆C在第一象限的交点为A，所以y00，因为F1，E，A三点共线，所以A(1,2y0)，将点A的坐标代入椭圆的方程可得y0=34，即A(1,32)，所以直线OA的斜率为32，(ii)因为PQ=OA
21、，所以直线PQ的斜率也为32，设直线PQ的方程为：y=32x+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立直线PQ与椭圆的方程x24+y23=1y=32x+m整理可得3x2+3mx+m2-3=0，=9m2-12(m2-3)=3(12-m2)0，0m212，x1+x2=-m,x1x2=m2-33，|PQ|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=39612-m2，点A(1,32)到直线PQ：y=32x+m的距离d=|2m|13，法一：所以SAPQ=12|PQ|d=36-m4+12m2=36-(m2-6)2+36，当m2=6，及m=6时面积S最大，所以面积最大时直线PQ的方程为：y=32x6；法二：S=12|PQ|d=36|m|-m2+1236(m2+(-m2+12)2)2=63，当且仅当|m|=-m2+12，即m=6时等号成立；所以当m2=6，即m=6时APQ的面积最大，此时直线l的方程为：y=32x6
