1、考点测试42双曲线高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度考纲研读1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2了解双曲线的简单应用3理解数形结合的思想一、基础小题1已知双曲线1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为()ABC.D答案D解析由m21652，解得m3(m3舍去)所以a5，b3，从而.故选D.2已知平面内两定点A(5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|MB|6，则点M的轨迹方程是()A.1B1(x4)C.1D1(x3)答案D解析由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；又
2、c5，a3，b2c2a216.焦点在x轴上，轨迹方程为1(x3)故选D.3已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1B1C.1D1答案A解析双曲线1的焦距为10，c5.又双曲线的渐近线方程为yx，且P(2,1)在渐近线上，1，即a2b.由，解得a2，b，则C的方程为1.故选A.4设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，以OF为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A(O为坐标原点)，且|OA|2|AF|，则双曲线C的离心率e为()A.BC.D2答案B解析由题意可得tanAOF，渐近线方程为yx，e2，故e.故选B.5已知F1，F2为双曲线C
3、：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2B4C.6D8答案B解析由双曲线的方程，得a1，c，由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2.在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|(2)2，解得|PF1|PF2|4.故选B.6(多选)已知曲线C的方程为1，则下列结论正确的是()A当k8时，曲线C为椭圆，其焦距为4B当k2时，曲线C为双曲线，其离心率为C对任意实数k，曲线C都不可能为焦点在y轴上的
4、双曲线D当k3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x4)2y29相切答案BC解析对于A，当k8时，曲线C的方程为1，该曲线为椭圆，焦距2c24，A错误；对于B，当k2时，曲线C的方程为1，该曲线为双曲线，则a，c，其离心率e，B正确；对于C，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则不等式组无解，故不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C正确；对于D，当k3时，曲线C的方程为1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为yx，则圆(x4)2y29的圆心到渐近线的距离d3，所以双曲线C的渐近线与圆(x4)2y29不相切，D错误故选BC.7(多选)已知动点P在双曲线C：x21上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，
5、F2，下列结论正确的是()AC的离心率为2BC的渐近线方程为yxC动点P到两条渐近线的距离之积为定值D当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为答案AC解析对于双曲线C：x21，a1，b，c2，所以双曲线C的离心率为e2，渐近线方程为yx，A正确，B错误；设点P的坐标为(x0，y0)，则x1，双曲线C的两条渐近线方程分别为xy0和xy0，则点P到两条渐近线的距离之积为，C正确；当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|ca1，|PF2|2a|PF1|PF1|2，当且仅当|PF1|2时，等号成立，所以的最大值为，D错误故选AC.8设F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F
6、1的距离为9，则点P到焦点F2的距离为_答案17解析解法一：实轴长2a8，半焦距c6，|PF1|PF2|8.|PF1|9，|PF2|1或|PF2|17.又|PF2|的最小值为ca642，|PF2|17.解法二：若P在右支上，则|PF1|ac46109，P在左支上|PF2|PF1|2a8，|PF2|9817.9直线yk(x6)(k0)与双曲线E：1(a0，b0)及其渐近线从左至右依次交于点A，B，C，D，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为4，则F2CD与F1AB的面积之比为_答案2解析由得x210，由得x20，由以上两式可知，xAxDxBxC，故AD，BC具有相同的中点，故|AB|CD
7、|，又直线yk(x6)过定点G(6,0)，如图，过F1，F2作直线yk(x6)的垂线，垂足分别为N，M，由焦距为4可得F1(2，0)，F2(2,0)，则|GF2|2|GF1|.所以2.二、高考小题10(2021北京高考)双曲线C：1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()Ax21By21Cx21Dy21答案A解析e2，c2a，ba，则双曲线的方程为1，将点(，)代入双曲线的方程可得1，解得a1，故b，因此，双曲线的方程为x21.故选A.11(2021全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()A.BC.D答
8、案A解析由|PF1|3|PF2|，|PF1|PF2|2a，得|PF2|a，|PF1|3a，在F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即(2c)2(3a)2a223aacos60，得4c27a2，所以C的离心率e.故选A.12(2021天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点与抛物线y22px(p0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|AB|.则双曲线的离心率为()A.BC.2D3答案A解析设双曲线1(a0，b0)与抛物线y22px(p0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y22p
9、x(p0)的准线为xc，令xc，则1，解得y，所以|AB|，又因为双曲线的渐近线方程为yx，所以|CD|，所以，即cb，所以a2c2b2c2，所以双曲线的离心率e.故选A.13(2021浙江高考)已知a，bR，ab0，函数f(x)ax2b(xR)若f(st)，f(s)，f(st)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是()A直线和圆B直线和椭圆C直线和双曲线D直线和抛物线答案C解析因为函数f(x)ax2b，所以f(st)a(st)2b，f(s)as2b，f(st)a(st)2b.因为f(st)，f(s)，f(st)成等比数列，所以f(s)2f(st)f(st)，即(as2b)2a(st)2ba
10、(st)2b，化简得2a2s2t2a2t42abt20，得t0或2as2at22b，即t0或1，易知点(s，t)的轨迹是直线和双曲线故选C.14(2020天津高考)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.1Bx21C.y21Dx2y21答案D解析由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的斜率为b，又双曲线的渐近线的方程为yx，所以b，b1.因为a0，b0，所以a1，b1.故选D.15(2020全国卷)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是
11、C上一点，且F1PF2P.若PF1F2的面积为4，则a()A1B2C.4D8答案A解析，ca，根据双曲线的定义可得|F1P|F2P|2a，SPF1F2|F1P|F2P|4，|F1P|F2P|8.F1PF2P，|F1P|2|F2P|2(2c)2，(|F1P|F2P|)22|F1P|F2P|4c2，即(2a)2284(a)2，解得a1.故选A.16(2020全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A4B8C.16D32答案B解析直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点，双曲线的
12、渐近线方程是yx，不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立解得故D(a，b)联立解得故E(a，b)|ED|2b.ODE的面积为SODEa2bab8.双曲线的焦距为2c2228，当且仅当ab2时取等号，C的焦距的最小值为8.故选B.17(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A.BC.2D答案A解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|M
13、P|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故选A.18(2019全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO的面积为()A.BC.2D3答案A解析双曲线1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为yx，不妨设点P在第一象限，由于|PO|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为，即PFO的底边长为，高为，所以它的面积为.故选A.19(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A.B3C.2D4答案B解析因为双曲线的一条渐近线
14、为yx，所以tanFON，所以FON30，MON60，又因为OMN是直角三角形，不妨取NMO90，则ONF30，于是|FN|OF|2，|FM|OF|1，所以|MN|3.故选B.20(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A.B2C.D答案C解析由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a.在RtPOF2中，cosPF2O，在PF1F2中，cosPF2O，c23a2，e.故选C.21(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲
15、线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1B1C.1D1答案C解析解法一：双曲线1(a0，b0)的离心率为2，e214，3，即b23a2，c2a2b24a2，由题意可设A(2a,3a)，B(2a，3a)，3，渐近线方程为yx，则点A与点B到直线xy0的距离分别为d1a，d2a，又d1d26，aa6，解得a，b29.双曲线的方程为1.故选C.解法二：如图，设双曲线的右焦点为F(c,0)，一条渐近线为yx，则F到该渐近线的距离db，又d1d26，由梯形中位线可知2dd1d2，即2b6，b3，双曲线离心率为2，e2，a23.双曲线的
16、方程为1.故选C.22(2021新高考卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_答案yx解析因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以e2，所以3，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.23(2021全国乙卷)已知双曲线C：y21(m0)的一条渐近线为xmy0，则C的焦距为_答案4解析双曲线y21(m0)的渐近线为yx，即xy0，又双曲线的一条渐近线为xmy0，即xy0，对比两式可得m3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2m3，b21，所以双曲线的焦距2c24.24(2020北京高考)已知双曲线C：1，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线
17、的距离是_答案(3,0)解析在双曲线C中，a，b，则c3，则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0)双曲线C的渐近线方程为yx，即xy0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为.25(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_答案2解析解法一：由，得A为F1B的中点又O为F1F2的中点，OABF2.又0，F1BF290.|OF2|OB|，OBF2OF2B.又F1OABOF2，F1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2为等边三角形如图1所示，不妨设B.点B在直线yx上，离心率e 2.解法二：
18、0，F1BF290.在RtF1BF2中，O为F1F2的中点，|OF2|OB|c.如图2，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c,0)又，A为F1B的中点OAF2B，c2a，离心率e2.三、模拟小题26(2022广东广州荔湾区高三上调研考试)已知F1，F2分别是双曲线C：y21的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则点P的横坐标为()A1BC.D2答案C解析由题设，渐近线为yx，不妨令P，而F1(2,0)，F2(2,0)，又x40，x0.故选C.27(2022湖北恩施
19、州高三上第一次教学质量监测)双曲线C：1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BFAF时满足|AF|2|BF|，则双曲线离心率e的取值范围是()A1e2B1eC.e2D1e2，即ac2，整理得ac，从而有e1，所以双曲线离心率e的取值范围是1e0，b0)右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QFFR，且|QF|2|FR|，则E的离心率为()A.BC.D答案B解析如图，令双曲线E的左焦点为F，连接PF，QF，RF，由对称性可知，点O是线段PQ的中点，则四边形PFQF是平行四边形，而QFFR，于是有PFQF是矩形，设|FR|m，
20、则|PF|FQ|2m，|PF|2m2a，|RF|m2a，|PR|3m2a，在RtFPR中，(2m)2(3m2a)2(m2a)2，解得m或m0(舍去)，从而有|PF|，|PF|，RtFPF中，224c2，整理得，e，所以双曲线E的离心率为.故选B.30(2022河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知F1，F2是双曲线C：y21的两个焦点，点M在直线xy30上，则|MF1|MF2|的最小值为()A2B6C.D5答案C解析由双曲线C：y21可得a23，b21，所以c2a2b24，可得c2，所以F1(2，0)，F2(2,0)，设点F2(2,0)关于xy30对称的点为P(m，n)，由可得所以P(3
21、，5)，所以|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|，当且仅当P，M，F1三点共线时等号成立，|PF1|，所以|MF1|MF2|的最小值为，故选C.31(多选)(2022辽宁朝阳建平县高三上学期第一次联考)双曲线C：1(a0，b0)的焦点在圆O：x2y213上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足0(其中O为坐标原点)，则()A双曲线C的一条渐近线方程为3x2y0B双曲线C的离心率为C|1DOMN的面积为6答案ABD解析如图，设双曲线C的焦距为2c2，MN与y轴交于点P，由题可知|OM|c，则P(0，b)，由0得点E为OMN的重心，可得|OE|OP|，即ab
22、，a2，b3，e21，解得e.双曲线C的渐近线方程为3x2y0，|2，M的坐标为(2,3)，SOMN6.故选ABD.32(多选)(2022湖北襄阳五中高三开学考试)已知F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为yx，且F1到l的距离为3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为(2,0)，PQ为F1PF2的平分线则下列结论正确的是()A双曲线的方程为1B.2C|3D点P到x轴的距离为答案ABD解析F1(c,0)到yx距离为3，3，解得c6，又渐近线方程为yx，则，结合a2b2c2可解得a3，b3，则双曲线的方程为1，故A正确；PQ为F1PF2的平分线，又2，
23、2，故B正确；由双曲线定义可得|PF1|PF2|6，则可得|PF1|12，|PF2|6，则在PF1F2中，cosF1PF2，则|2222122212662216，则|6，故C错误；在PF1F2中，sinF1PF2，设点P到x轴的距离为d，则SPF1F2|F1F2|d|PF1|PF2|sinF1PF2，即12d126，解得d，故D正确故选ABD.33(2022湖南娄底双峰县第一中学高三上学期入学摸底)双曲线x2my2m(m0)的一条渐近线与y2x垂直，右焦点为F，则以原点为圆心，|OF|为半径的圆的面积为_答案5解析由x2my2m(m0)可得y21，所以a，b1，所以渐近线方程为yxx，因为双曲
24、线x2my2m(m0)的一条渐近线与y2x垂直，所以21，可得m4，所以c，所以右焦点为F(，0)，所以|OF|，以|OF|为半径的圆的面积为()25.34(2021上饶模拟)已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积为_答案4解析由题意知a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|AB|BF1|，F1AB为等腰三角形，F1AF245，ABF190，
25、F1AB为等腰直角三角形|AB|BF1|AF1|42.SF1AB|AB|BF1|224.一、高考大题1(2021新高考卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|MF2|2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|TB|TP|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和解(1)因为|MF1|MF2|20，b0)，半焦距为c，则2a2，c，得a1，b2c2a216，所以点M的轨迹C的方程为x21(x1)(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为ytk
26、1(k10)，直线PQ的方程为ytk2(k20)，由得(16k)x22k1x2160.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知16k0，则xAxB，xAxB，所以|TA|，|TB|，则|TA|TB|(1k)(1k)(1k).同理得|TP|TQ|.因为|TA|TB|TP|TQ|，所以，所以k16kk16kk16kk16k，即kk，又k1k2，所以k1k2，即k1k20.二、模拟大题2(2021湖南岳阳第一次模拟)已知双曲线C：1的离心率为，点P(4，)在C上(1)求双曲线C的方程；(2)设过点(1,0)的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出点Q的坐
27、标及此常数的值；若不存在，说明理由解(1)由题意，得解得a24，b21.双曲线C的方程为y21.(2)设直线l的方程为xmy1，设定点Q(t,0)，联立得(m24)y22my30.m240，且4m212(m24)0，解得m23且m24.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)22，x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)114.(x1t，y1)(x2t，y2)(x1t)(x2t)y1y2x1x2t(x1x2)t2y1y24tt24t2为常数，与m无关，8t230，即t，此时.在x轴上存在定点Q，使得为常数.3(2022广东珠海高三摸底)
28、已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点为F(，0)，且经过点T.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点A是C上一定点，过点B(0,1)的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若kAPkAQ为定值，求点A的坐标及实数的值解(1)由题意a2b2c22.且1.联立解得ab1，所以双曲线C的标准方程为x2y21.(2)设A(m，n)，过点B的动直线为：ytx1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(1t2)x22tx20，由1t20且0，解得t20，b0)的左顶点为A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若ABC的面积为1.(1)求双曲线E的方程；(2)若直线l：ykx1与双曲线E的
29、左、右两支分别交于M，N两点，与双曲E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围解(1)因为双曲线E：1(a0，b0)为等轴双曲线，可得ab.设双曲线的焦距为2c，c0，故c2a2b22a2，即ca.因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，将xBca代入双曲线的方程可得|yB|a，故|BC|2a.又ABC的面积为1，即|BC|AF|2a(ac)1，解得a1.故双曲线E的方程为x2y21.(2)由题意可得直线l：ykx1与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，联立可得(1k2)x22kx20，所以1k20，(2k)24(1k2)(2)0，xMxN0，可得1k1，且xMxN，xMxN，所以|MN|xMxN|，联立可得xP，同理可得xQ，所以|PQ|xPxQ|，所以，其中1k1，所以(1，
