1、山西省太原市第五中学2020届高三数学下学期6月月考试题 文（含解析）第卷 （选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1.设集合,则（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次不等式的方法求解集合,再求解即可.【详解】,故.即.故选：B【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题.2.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得出，利用复数的除法运算可求得复数.【详解】由得出.故选：D.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数除法运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3.正方体中，下列命题中正确是（ ）.A.
2、与是相交直线且垂直B. 与是异面直线且垂直C. 与是相交直线且垂直D. 与是异面直线且垂直【答案】D【解析】【分析】利用异面直线成角的定义可判断A，B，C，利用线面垂直的判定和性质定理即可判断D.【详解】连接,则为等边三角形，则与是相交直线且成角为，故A错误；因为，所以与是异面直线且成角为，故B错误；连接，因为面,所以,所以与成角为为锐角故C错误；连接，因为，且,所以面，则，则与是异面直线且垂直，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.4.新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫
3、情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性.下面的图表给出了月日至月日全国疫情每天新增病例的数据统计情况下列说法中不正确的是（ ）A. 每天新增疑似病例的中位数为B. 在对新增确诊病例的统计中，样本容量为C. 每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过例的天数为天D. 在对新增确诊病例的统计中，样本是月日至月日【答案】D【解析】【分析】求出每天新增疑似病例的中位数，可判断A选项的正误；根据统计天数可判断B选项的正误；统计出每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过例的天数，可判断C选项的正误；根据样本的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，每天新增疑似病例数由小到大依次为、，中位数为
4、，A选项正确；对于B选项，由于共统计了天，则在对新增确诊病例的统计中，样本容量为，B选项正确；对于C选项，从月日至月日中每天新增确诊与新增疑似病例之和分别为、，其中，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过例的天数为，C选项正确；对于D选项，在对新增确诊病例的统计中，样本是月日至月日每天新增病例的数据，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查利用折线统计图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.5.在直角三角形ABC中，点P是斜边AB上一点，且BP=2PA，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，计算得到答案.【详解】如图所示：以为轴，为轴建
5、立直角坐标系，则，.故选：D.【点睛】本题考查了向量数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C【解析】试题分析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出. 故选C.考点：程序框图.7.设，是两个非零向量A. 若|，则B. 若，则|C. 若|，则存在实数，使得D. 若存在实数，使得，则|【答案】C【解析】【详解】利用排除法可得选项C是正确的，|，则，共线，即存在实数，使得如选项A：|时，可为异向的共线向量；选项B：若，由正方形得|不成立；选项D：若存在实数，使得，可为同向的共线向量，此时显
6、然|不成立8.函数的部分图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=1，排除A，当x=4时，排除D，故选C点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象9.定义在R上的奇函数满足：函数的图象关于
7、y轴对称，当时，则下列选项正确的是（）A. 的图象关于y轴对称B. 的最小正周期为2C. 当时，D. 在上是减函数【答案】C【解析】【分析】由已知条件得的图象关于对称，且为奇函数，得周期为4，又时，对选项判断即可.【详解】函数的图象关于y轴对称，所以的图象关于对称，故A错误；，进而得.又是奇函数，进而得，所以周期为4，故B错误；当时，所以当时，则，所以，故C正确；当时，所以当时，则，所以在上是增函数，故D错误.故选C【点睛】本题考查了函数的基本性质：奇函数和对称性，函数解析式的综合应用，属于中档题.10.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（
8、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用降幂扩角公式化简，再根据其周期求得，结合图象的左右平移求得平移后的解析式，利用是函数的对称轴，求得关于的方程，即可求得的最小值.【详解】容易知又其周期为，可得，故将其图象向右平移个单位可得的图象，根据其图象关于对称，可得，则，又，故当时，取得最小正值为.所以实数的最小值为故选：B【点睛】本题考查降幂扩角公式的应用，求函数图像平移后的解析式，以及余弦型三角函数的性质，属综合中档题.11.已知抛物线：，过其焦点的直线与交于，两点，是坐标原点，记的面积为，且满足，则（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】D【解析】【分析】结合抛物线的定义，
9、计算出三角形的面积，由此列方程，解方程求得的值.【详解】设， ，则，根据抛物线的定义可知.依题意，则，故选D.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，考查方程的思想，属于基础题.12.已知函数，若，其中，则的最大值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】当时，有唯一解，而，通过变形可得，比较可得，进而得到，运用导数即可求得最大值.【详解】由题意，则，作函数的图象如下：由图可知，当时，有唯一解，故，且，设，则，令，解得，易得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故，即的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查化简变形能力
10、及数形结合思想，属于中档题第卷 （非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出，然后算出和即可.【详解】因为，所以，所以所以切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单.14.若实数x，y满足约束条件则的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，根据图形求出目标函数的最大值.详解】作出可行域如图所示，则当直线，过点时取最大值4.故答案为4.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.15.如图所示，是一正方形苗圃图案，中间黑色的大圆与正
11、方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机地取一点，则该点取自黑色区域的概率为_.【答案】【解析】【分析】设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，由题意求得，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案【详解】解：如图，设黑色小圆的半径为，正方形的边长为 8，则黑色大圆的半径为，由题意可知，即图中黑色区域的面积为，又正方形的面积为64在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为故答案为：【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题16.在中，点D在边的延长线上，且，则_.【答案】【解析】【分析
12、】先在中，由余弦定理求出，再在中，利用正弦定理求出，再化简即得解.【详解】在中，由余弦定理得,所以.在中，由正弦定理得.因为，所以,所以故答案为：.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题（共70分）17.已知等差数列中,数列满足,.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和.【答案】（1） （2），【解析】【分析】（1）由,可得: ,解得,故,即可求得.（2）因为,故,根据数列求和错位相减法,即可求得.【详解】（1）由已知得， 解得， 故， 代入 ,即.（2）由（1）知,. , , .故,【点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错
13、位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.18.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面（1）证明：；（2）若，求到平面ABC的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)先根据,可证明平面ABO,再根据直线与平面垂直的性质可证;(2)先作出点到平面的距离: 作，垂足为D，连接AD，作，垂足为H，则就是点到平面的距离,然后根据已知条件计算出,再根据为的中点可得到平面ABC的距离.【详解】（1）证明：连接，则O为与的交点，侧面为菱形，平面，平面ABO，平面ABO，（2）作，垂足为D，连接AD，作，垂足为H，平面AO
14、D，平面ABC，为等边三角形，由，O为的中点，到平面ABC的距离为【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理与性质定理,考查了求点到平面的距离,作出点到平面的距离是解题关键,属于中档题.19.2020年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命随着疫情的发展，自2020年2月5日起，武汉大面积的爆发新冠肺炎，政府为了及时收治轻症感染的群众，逐步建立起了14家方舱医院，其中武汉体育中心方舱医院从2月12日开舱至3月8日闭仓，累计收治轻症患者1056人据部分统计该方舱医院从2月26日至3月2日轻症患者治愈出仓人数的频数表与散点图如下：
15、日期2.262.272.282.293.13.2序号123456出仓人数38173168168根据散点图和表中数据，某研究人员对出仓人数与日期序号进行了拟合分析从散点图观察可得，研究人员分别用两种函数分析其拟合效果其相关指数可以判断拟合效果，R2越大拟合效果越好已知的相关指数为（1）试根据相关指数判断上述两类函数，哪一类函数的拟合效果更好？（注：相关系数与相关指数R2满足，参考数据表中）（2）根据（1）中结论，求拟合效果更好的函数解析式；（结果保留小数点后三位）3月3日实际总出仓人数为216人，按中的回归模型计算，差距有多少人？（附：对于一组数据，其回归直线为相关系数参考数据： 3.549.1
16、715.173.13894.8319666.8310.5513.563957083，【答案】（1）回归方程的拟合效果更好；（2）相差129人【解析】【分析】（1）由相关数据和参考公式求出相关系数即可得解；（2）根据参考公式求出这两个系数，从而得到，于是可知回归方程；把代入中求出的回归方程即可得解【详解】（1）由得，令，由上表得：，又由已知计算故由，因此回归方程的拟合效果更好（2），故，即回归方程为当序号时，而3月3日实际出仓人数为216人，相差129人【点睛】此题考查根据相关指数判断拟合函数的效果，通过换元法求解回归方程，关键在于熟练掌握相关公式的应用，根据给定数据计算求解.20.已知椭圆的对
17、称中心为原点，焦点在轴上，焦距为，点在该椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上位于直线两侧的动点当点运动时，满足，问直线的斜率是否为定值，请说明理由【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题可得， 所以 ，则椭圆的方程为（2）将代入椭圆方程可得，解得 ，则 ，由题可知直线与直线的斜率互为相反数，写出直线的方程与椭圆方程联立整理可得【详解】（1）因为椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，所以设椭圆方程为 因为焦距为，所以 ，焦点坐标 ，又因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得所以 ，即解得 所以 则椭圆的方程为.（2）将代入椭圆方程可得，解得 则 当点运动时，满
18、足，则直线与直线的斜率互为相反数，不妨设，则， 所以直线的方程为，联立 ，解得 因为是该方程的两根，所以，即，同理直线的方程为且所以所以 ，即直线的斜率为定值【点睛】直线与椭圆的位置关系是近几年的高考重要考点，求椭圆的标准方程时要注意焦点的位置，本题解题的关键是先求出椭圆的标准方程，且由可知直线与直线的斜率互为相反数，属于偏难题目21.已知函数，.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）分离参数法，转化为.（2）由（1）得，当时，有，即.所以只需证明，即证，.构造函数可证右边构造函数可证试题解析：（1）由，得 .整
19、理，得恒成立，即.令.则.函数在上单调递减，在上单调递增.函数的最小值为.，即.的取值范围是.（2）由（1），当时，有，即.要证，可证，即证，.构造函数.则.当时，.在上单调递增.在上成立，即，证得.当时，成立.构造函数.则 .当时，在上单调递减.，即.当时，成立.综上，当时，有.【点睛】解题时要学会用第一问己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当时，有，即.要证，只需证，即证，.同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形选考题：满分10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多选，则所做第一题计分.选修4-4，坐标系与参数方程22.在直角坐标系中中，曲线C的参数方程（为参数，）
20、.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设P是曲线C上的一个动点，当时，求点P到直线的距离的最大值；（2）若曲线C上所有的点均在直线的右下方，求t的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以：对，恒成立，利用辅助角公式变形可得恒成立，由余弦函数的有界性，只需即可，解得参数的取值范围.【详解】解：（1）直线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为：依题意，设，则点到直线的距离当时，（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以：对，恒成立，
21、即：恒成立，所以：且，解得：故取值范围为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若，函数恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】由题意可得，然后分段解不等式可得答案,(2) ，函数恒成立,则,分段求出函数的最小值，然后解出答案.【详解】由函数（1）当时，即，得，所以.当时，即，得，所以.当时，即，得，所以所以不等式的解集为.(2) 若，函数恒成立,则由，当时，当时，当时，所以，则，可得所以，函数恒成立，则实数a的取值范围为【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，不等式恒成立求参数的范围，含绝对值的不等式关键是利用定义打开绝对值，属于中档题.
