1、拓展四 导数与零点、不等式等综合运用(精讲)思维导图常见考法考点一 零点问题【例1】(2021全国高二课时练习)已知函数f(x)x3x26xa.(1)若对任意实数x，m恒成立，求m的最大值；(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)(，2).【解析】(1)3x29x6，由m恒成立，可得m，即m的最大值为.(2)3x29x63(x2)(x1)，由0x2或x1，由01x2，f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减，f(x)极大值f(1)a，f(x)极小值f(2)2a.f(x)恰有一个零点，a0，即a，所以a的取值范围为(，2).【一隅三反】1(2
2、021北京101中学高二期中)已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是( )ABC(0，1)D(0，1【答案】C【解析】函数恰有两个零点等价于有两个不等的实数解，令，则， 当时，递增，当时，递减在x=1处取得极大值，且为最大值1，当，可画出的图象，由图像知时，y=g(x)和y=a有两个交点.故选：C.2(2021河南高二期末(理)已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】当时，而，原不等式恒成立，当时，不等式等价变形为：，令，而，求导得，令，则，则在上单调递增，若，则，记，则，则存在，使得，当时，单调递减，即当时，不符合题意，若，即当时，单调递增，则有，符合题意，综
3、上得，所以正实数的取值范围是.故选：D3(2021重庆十八中高二月考)(多选)已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为( )ABCD【答案】ABC【解析】由题意有方程在区间内有唯一实数根，即方程在区间内有唯一实数根，令，所以在区间内单调递增，所以，所以，因为，故选：ABC4(2021全国高二课时练习)已知函数，且是函数的极值点(1)求实数的值；(2)若函数仅有一个零点，求实数的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】(1)当时，此时是函数的极值点，解得(2)由(1)，知当时，令，得或(舍去)当时，单调递减，当时，单调递增，而当时，单调递增，函数仅有一个零点，即函数的图象与直线仅有一个交点，或，
4、即实数的取值范围为5(2021江苏常熟市中学高二月考)已知函数.(1)若函数和直线相切，求b的值：(2)令，当时，判断零点的个数并证明.【答案】(1)； (2)两个零点，证明见解析.【解析】(1)由题意，函数，可得，设切点坐标为，可得切线的斜率，可得，所以，即切点坐标为，将点代入，可得，解得.(2)由，可得，当时，所以是的一个零点，设，可得，当时，所以在上时单调递增函数，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上没有零点；当时，因为，可得，所以，可得，所以在上没有零点；当时，可得，所以在上单调递增，又由，所以在内存在唯一，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以在内有一个零点，综上可得，
5、函数有两个零点.考点二 不等式证明问题【例2】(2021全国高二课时练习)已知函数(1)求的单调区间；(2)当时，试证明【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)证明见解析.【解析】(1)因为，所以令，得；令，得所以的单调递增区间是，单调递减区间是(2)由(1)知在上单调递减，所以时，即，所以，即【一隅三反】1(2021全国高二专题练习)已知函数(1)求证：函数在上单调递增；(2)设，求证：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)由题意知，函数在上单调递增(2)不妨设，则，令，则由(1)知在上单调递增，又，2(2021江苏常熟市中学高二月考)已知函数，.(1)若为单
6、调函数，求a的范围.(2)若函数的两个零点，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)，又为单调函数且，对于，开口向上且对称轴为，即时，恒成立，即恒成立，符合题设.(2)令，由(1)知：，则且，又，得，同理，要证，即，只需证，令，则，而，即在上递减，而，即，得证.3(2021江苏公道中学高二月考)已知函数(k为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值和f(x)的单调区间；(2)设，其中为f(x)的导函数，证明：对任意.【答案】(1)，增区间为，减区间为；(2)见解析.【解析】(1)的定义域为.，所以，令，所以
7、在上递减，所以在区间上递增，在区间上递减.即的增区间为，减区间为.(2).由得.令，所以在区间上递增；在区间上递减，所以.而在上递增，所以，所以对任意.考点三 恒成立问题【例3】(2021河南辉县市第一高级中学高二月考(理)已知函数(1)求函数的极值；(2)当x0时，f(x)0恒成立，求正整数k的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2)3.【解析】(1)当时，函数在上单调递增，无极值；当时，得，由得在上单调递减，在上单调递增，没有极大值. (2)当x0时，f(x)0恒成立，即只要f(x)min0即可，由(1)k0时，f(x)在(1，k1)上单调递减，在(k1，+)上单调递增，(a)若k10即k
8、1时，f(x)在(0，+)上单调递增，f(x)minf(0)1满足题意；(b)当k10即k1时，f(x)在(0，k1)上单调递减，在(k1，+)上单调递增，f(x)minf(k1)lnkk+20，令g(x)lnxx+2，则，所以g(x)在(1，+)上单调递减，且g(2)ln20，g(3)ln310，g(4)ln420，所以存在x0(3，4)使得g(x0)0，则g(x)lnxx+20的解集为(1，x0)，综上k的取值范围(，x0)，其中x0(3，4)，所以正整数k的最大值3.【一隅三反】1(2021河北正定中学高二期末)已知函数，(1)若在处取得极值，且满足函数有三个零点，求的取值范围；(2)若
9、，对任意，恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】(1)，由已知得，得，经检验，时，当时，取得极小值，成立.，令，得或，由得或，此时为增函数，由得，此时为减函数，即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，即，所以函数有三个不同零点，且时，时，因此，只需，即，解得，的范围是(2)，对任意，即，变形得，令，则，所以，所以在上单调递增，从而，因此.2(2021河北曲周县第一中学高二月考)已知函数，(1)求函数的单调区间；(2)令，若在恒成立，求整数a的最大值参考数据：，【答案】(1)答案见解析；(2)3.【解析】的定义域为且，当时，由得：，时，的增区间为，减区间为，当时，令得：或，的增区间为和减区间为当时，恒成立，此时的增区间为，无递减区间：当时，令得：或，的递增区间为和，减区间为，则恒成立令，则，令，知在上递增且，使，即在递减，在递增，由知：整数a的最大值为33(2021陕西省洛南中学高二月考(理)已知函数(为常数)1)讨论函数的单调性；2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)时，递增，时，在递减，递增；(2).【解析】(1)函数定义域是，时，恒成立，在上是增函数；时，时，递减，时，递增(2)即在上恒成立，则，设，则，时，递增，时，递减，所以
