1、拓展一 利用递推公式求通项公式常用方法(精练)【题组一 累加法】1(2021全国)在数列中，则( )ABCD【答案】D【解析】由题意得，则，由累加法得，即，则，所以，故选：D2(2021全国高二专题练习)已知数列中，求数列的通项公式【答案】【解析】依题意，当时，所以.3(2021全国高二课时练习)已知数列满足：，且数列是等差数列，求数列的通项公式【答案】【解析】因为，所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列，所以由累加求和，得，所以，又符合，所以4(2021山西祁县中学)已知各项都不相等的数列满足(1)证明：数列为等比数列；(2)若，求的通项公式【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)
2、证明 由，可得，因为各项都不相等，所以，是公比为的等比数列(2)解 由(1)知是公比为的等比数列，且，所以当时，累加，得，所以当时，满足上式，故5(2021全国)已知数列满足，.求数列的通项公式.【答案】.【解析】由，可得：，各式相加得.因为，所以.6(2021全国)已知数列满足，求数列的通项公式【答案】【解析】，即，又当时，也符合上式7(2021湖北)设数列满足，.求数列的通项公式；【答案】【解析】由，得，由累加法，得，所以；8(2021全国高二专题练习)已知数列an满足，(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)因为，所以，又因为，
3、则，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，(2)由(1)知：则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，则，即，所以.【题组二 累乘法】1(2021全国高三专题练习(文)已知中，则数列的通项公式是_【答案】【解析】由，可得：，又，故答案为：2(2021贵州师大附中)设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式_.【答案】【解析】由，则又数列为正项数列，即，所以，即 所以故答案为：3(2021全国高二专题练习)设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式.【答案】或【解析】依题意，所以，当时，所以.当时，所以，也符合上式.所以.综上所述，或.4(2021全国高二专题练习)已知数列an中，a11
4、，当nN且n2时，(2n1)an(2n3)an1，求通项公式an.【答案】an，nN*.【解析】当n2，(2n1)an(2n3)an1，当n1时符合上式，nN*5(2021全国高二专题练习)设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式.【答案】【解析】由，得， ，又a11满足上式，.6(2021全国高二专题练习)在数列中，求数列的通项公式【答案】【解析】依题意得，所以也满足).7(2021全国高二专题练习)已知数列满足，求数列的通项公式.【答案】.【解析】因为，所以，则当时，满足上式，所以.8(2021全国)已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.【答案】.【解析】由，得，又，所以当时，又也满足上
5、式，所以；【题组三 公式法】1(2021全国高二单元测试)已知数列满足，数列的通项公式是_【答案】【解析】，当时，当时，两式相减得：，即，累乘得：，所以，故答案为：.2(2021全国(文)已知数列的前项和为，且，则_.【解析】当时，当时，两式相减得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以.故答案为：3(2021全国(理)设数列的前n项和为，若，则_【答案】【解析】，故，解得，当时，整理得到，故是首项为，公比为得到等比数列，故，即，验证时满足，故.故答案为：.4(2021全国高二课时练习)已知数列的前项和，求.【答案】【解析】当时，由，当时，故，又因为，所以.5(2021全国高二课时练习)
6、已知数列an满足，求数列an的通项公式【答案】an.【解析】当n2时，由，得a13a232a33n2an1，两式相减得3n1an，则an.当n1时，a1，满足an，所以an.6(2021全国高二课时练习)已知Sn是数列an的前n项和，Sn32n3，其中nN*.求数列an的通项公式【答案】.【解析】由Sn32n3，nN*，得当n1时，a1S132133.当n2时，又当n1时，a13也满足上式所以数列an的通项公式为.7(2021全国高二课时练习)设数列的前项和.(1)求，；(2)证明：是等比数列；(3)求的通项公式.【答案】(1) ，；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)由和可得，解得，解得
7、，解得，解得，故 ，.(2)证明：因为 ，故 ，由得，即，当时，又因为，数列是首项为2，公比为2的等比数列.(3)由(2)知，等号两端同时除以，得，且，数列是以1首项，以为公差的等差数列， ，即.故的通项公式为.8(2021全国高二专题练习)设为数列的前n项的和，且，求数列的通项公式【答案】【解析】依题意当时，当时，化简得.所以数列是以，公比为的等比数列，所以.【题组四 构造法】1(2021全国高三专题练习(理)在数列中，则( )ABCD【答案】A【解析】在中， 由可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，所以，所以，故选：A.2(2021河南高二期末(理)已知数列满足，若，则数列的通项公式为_
8、【答案】【解析】因为，所以，所以，而，且，数列是首项为1，公比为2的等比数列，.故答案为：3(2021全国高二课时练习)数列满足，且，求数列的通项公式【答案】【解析】，且，当时，又也满足，4(2021全国高二专题练习)数列中，求数列的通项公式【答案】【解析】依题意，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以.5(2021云南昆明一中高三月考(理)已知数列an中，a1=3，nN*.求数列an的通项公式；【答案】【解析】由得：，即数列是首项为，公差为的等差数列，故.6(2021全国高三专题练习)(1)在数列中，求通项公式；(2)在数列中，求通项公式【答案】(1)；(2)【解析】(1)设，比较
9、系数得，则数列是一个等比数列，其首项，公比是2，即(2)设当代入上式比较系数得，于是，令，则是公比为2，首项为的等比数列，所以，故7(2021全国高二专题练习)设数列满足： .求数列的通项公式.【答案】.【解析】由知：，而，数列是首项、公差为的等差数列，即，.8(2021全国)已知数列中，求的通项公式.【答案】.【解析】，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；9(2021全国)已知数列满足，求数列的通项公式.【答案】.【解析】数列满足，.整理得，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.故， ；10(2021江苏高三月考)已知数列满足，求数列的通项公式；【答案】【解析】，由此可得数列构成以为首项，公比的等比数列，利用等比数列通项公式得： ，所以数列的通项公式为：.11(2021全国高二专题练习)数列中，求的通项公式.【答案】【解析】，两边取倒数得：，令，则,可得又所以数列是首项为，公比为3的等比数列，故即，解得.
