1、4.4 数学归纳法(精讲)思维导图常见考法考点一 增项问题【例1】(1)(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为( )ABCD(2)(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明不等式 (n2)的过程中，由nk递推到nk1时，不等式的左边( )A增加了一项B增加了两项，C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项【答案】(1)A(2)C【解析】(1)假设时命题成立，即：被3整除当时，故选：A(2)nk时，左边为，nk1时，左边为，比较可知C正确.故选：C【一隅三反】1(2021全国)(多选)对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过
2、程如下：当时，不等式成立.假设当时，不等式成立，即，则当时，所以当时，不等式成立.上述证法( )A过程全部正确B时证明正确C过程全部不正确D从到的推理不正确【答案】BD【解析】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.故选：BD.2(2021全国)(多选)如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是( )A若对成立，则对所有正整数都成立B若对成立，则对所有正偶数都成立C若对成立，则对所有正奇数都成立D若对成立，则对所有自然数都成立【答案】BC【解析】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成
3、立.故选：BC3(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明“当nN+时，1+2+22+23+25n-1是31的倍数”，当n=1时，原式为_，从k到k+1时需增添的项是_.【答案】1+2+22+23+24 25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 【解析】当n=1时，原式应加到，原式为.从到时需添上.故答案为：；.4(2021全国)用数学归纳法证明关于n的不等式 (nN+)，由n=k递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为_.【答案】增加【解析】假设n=k时，不等式成立，即+，则当n=k+1时，不等式左边=+=+=+=+.故答案为：增加5(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证
4、明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_.【答案】【解析】当时，表达式左侧为：，表达式右侧为：，则当时，表达式为.故答案为：.6(2021全国高二专题练习)用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有_项(填多少项即可)【答案】5【解析】当时，原式为：，当时，原式为，比较后可知多了，共5项.故答案为：5考点二 等式的证明【例2】(2021全国高二专题练习)已知nN*，求证122232(2n1)(2n)22n(2n1)2n(n1)(4n3)【答案】证明见解析【解析】(1)当n1时，左边41814127右边(2)假设当nk(kN*，k1)时成立，即122232(2k1)(2k)22k(
5、2k1)2k(k1)(4k3)则当nk1时，122232(2k1)(2k)22k(2k1)2(2k1)(2k2)2(2k2)(2k3)2k(k1)(4k3)(2k2)(2k1)(2k2)(2k3)2k(k1)(4k3)2(k1)(6k7)(k1)(k2)(4k7)(k1)(k1)14(k1)3，即当nk1时成立由(1)(2)可知，对一切nN*结论成立【一隅三反】1(2021全国高二专题练习)用数学归纳法证明：159(4n3)(2n1)n.【答案】证明见解析【解析】证明：当n1时，左边1，右边1，等式成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即159(4k3)k(2k1)则当nk1时，左边159
6、(4k3)(4k1)k(2k1)(4k1)2k23k1(2k1)(k1)2(k1)1(k1)，当nk1时，等式成立由知，对一切nN*，等式成立2(2021全国)用数学归纳法证明：，其中.【答案】证明见解析.【解析】(1)当时，左边，右边，所以左边=右边，等式成立.(2)假设当时，等式成立，即，那么当时，.等式成立综上，对任何，等式都成立.考点三 不等式的证明【例3】(2021全国)求证：.【答案】证明见解析.【解析】(1)当n=2时，左边=，右边=，显然左边右边，即原不等式成立，(2)假设当n=k(k2，kN*)时，原不等式成立，即，则当n=k+1时，左边=右边，因此，当n=k+1时，原不等式
7、成立，综合(1)和(2)知，对一切n2，nN*，原不等式都成立.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)用数学归纳法证明：.【答案】证明见解析【解析】先证明出，即，构造函数，当时，则，所以，函数在上单调递增，则，则，即，即，对任意的，当时，.当时，左边，右边，左边右边；假设当时，不等式成立，即.则当时，则.这说明，当时，原不等式也成立.综上所述，对任意的，.2(2021浙江)已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立【答案】证明见解析.【解析】由，得，所以,用数学归纳法证明不等式成立，证明如下：当时，左边，右边，因为，所以不等式成立假设当时不等式成立，即成立，则当时，左边,右边所以当
8、时，不等式也成立由可得不等式对任意的都成立，即原不等式成立考点四 数列的证明【例4】(2021陕西武功高二期中)数列中，表示前n项和，且成等差数列(1)计算的值；(2)根据以上计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想【答案】(1)，；(2)，证明见解析.【解析】(1)，由已知有，得，又，得；(2)由以上结果猜测：用数学归纳法证明如下：()当时，猜想成立()假设当时猜想成立，则有，当时， 时猜想成立由()、()可知，对任意正整数n，猜想都成立【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)已知数列an的各项均为正数，且满足a11，an1an(4an)，nN*.证明anan12(nN*)【答案】
9、证明见解析【解析】当n1时，a11，a2a1(4a1)，a1a22，命题正确假设nk时，有akak12，则nk1时，ak1ak2ak(4ak)ak1(4ak1)2(akak1)(akak1)(akak1)(akak1)(4akak1)而akak10，4akak10，ak1ak20.又ak2ak1(4ak1)4(ak12)22，nk1时命题正确由知，对一切nN*都有akak12.2(2021全国高二课时练习)已知数列an中，a11，an1(nN*)(1)计算a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明【答案】(1)a2，a3，a4；(2)猜想an，证明见解析.【解析】(1)a11
10、，a2，a3，a4.(2)由(1)的计算猜想an.下面用数学归纳法进行证明当n1时，a11，猜想成立假设当nk时，猜想成立，即ak，那么ak1，即当nk1时，猜想也成立根据可知，对任意nN*都有an.3(2021全国)设数列的前n项和为，且.(1)计算，并猜想；(2)用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1)，猜想；(2)证明见解析.【解析】(1)当时，；时，；时，；时，.猜想.(2)下面用数学归纳法证明猜想：当时，猜想成立；假设时猜想成立，即成立；那么，当时，所以，即时，猜想成立，由可知，对猜想均成立.考点五 整除问题【例5】(2021全国)证明：当时，能被64整除.【答案】证明见解析.【解析
11、】(1)当时，能被64整除.(2)假设当时，能被64整除，则当时，.故也能被64整除.综合(1)(2)，知当时，能被64整除.【一隅三反】1(2021全国)用数学归纳法证明：能被整除.【答案】证明见解析【解析】证明：(1)当时，能被整除，所以结论成立；(2)假设当时结论成立，即能被整除则当时，因为能被整除，能被整除，所以，能被整除，即即时结论也成立由(1)(2)知命题对一切都成立2(2021全国)证明：能够被6整除【答案】见解析【解析】当时，显然能够被6整除，命题成立；假设当时，命题成立，即能够被6整除，当时，由假设知：能够被6整除，而为偶数，故能够被6整除，故能够被6整除，即当时，命题成立，由可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除
