1、专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用一、选择题1若f(cosx)cos2x，则f(sin15)()A.BC.D答案C解析f(sin15)f(cos75)cos150cos30.故选C.2(2021宁夏中卫市高三模拟)函数ylg sinx 的定义域为()A.B.C.D.答案A解析函数的定义域需要满足即故所求函数的定义域为.故选A.3有四个关于三角函数的命题：p1：x0R，sin2cos2；p2：x0，y0R，sin(x0y0)sinx0siny0；p3：x0，, sinx；p4：sinxcosyxy.其中是假命题的是()Ap1，p4Bp2，p4Cp1，p3Dp3，p4答案A解析p1是假命
2、题，xR，sin2cos21；p2是真命题，如x0y00时成立；p3是真命题，x0，sinx0， |sinx|sinx；p4是假命题，如x，y2时，sinxcosy，但xy.故选A.4(2022成都高三诊断考试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若向量m(a，cosA)，n(cosC，bc)，且mn0，则角A的大小为()A.BC.D答案B解析解法一：由mn0，得acosCcosA(bc)0，由正弦定理，得sinAcosCcosA(sinBsinC)0，即sinAcosCcosAsinCsinBcosA，所以sin(AC)sinBcosA，所以sin(B)sinBcosA，即sin
3、BsinBcosA.因为0B0，所以cosA，又0A，所以A，故选B.解法二：由mn0，得acosCcosA(bc)0，由余弦定理，得abcosAc0，即bbcosA，所以cosA，又0A，所以A，故选B.5已知a2，b(2log23) ，ccos50cos10cos140sin170，则实数a，b，c的大小关系是()AacbBbacCabcDcba答案C解析因为a2，b(2log23) 3，所以ab，排除B，D；ccos50cos10cos140sin170sin40cos10cos40sin10sin30，所以bc，所以abc.故选C.6(2021辽宁沈阳高三三模)设函数f(x)cos2x
4、bsinx，则“b0”是“f(x)的最小正周期为”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析当b0时，函数f(x)cos2xbsinxcos2x，所以函数的最小正周期为，f(x)cos2xbsinxbsinx，当b0时，函数的最小正周期为和2的最小公倍数，即为2，当函数的最小正周期为时，可得b0，则“b0”是“f(x)的最小正周期为”的充要条件故选C.7(2021福建省高三毕业班质量检查测试)如图，C60是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位
5、置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角(0)满足cos0，式中，分别为杂化轨道中s，p，d，f轨道所占的百分数C60中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无d，f轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为sp2.28，它表示参与杂化的s，p轨道数之比为12.28，由此可计算得一个C60中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为()A20，B12，C20，D12，答案A解析设一个C60中的凸32面体结构中共有x个五边形，y个六边形，每个顶点都是三个面的公共点，60，又xy32，解得x12，y20，
6、共有20个六边形；又由题意得，0，cos0，解得cos，00，所以cosx 在上有两个解，所以 1，所以A2，故选A.9(多选)已知复数z1cos2isin2(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是()A复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限Bz可能为实数C|z|2cosD.的实部为答案BCD解析因为，所以2，所以1cos21，所以01cos22，故A错误；当sin20，即0时，复数z是实数，故B正确；|z|2cos，故C正确；，的实部是，故D正确故选BCD.10(多选)(2022湖南省长沙市麓山国际实验学校高三上学期第一次月考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，依次成
7、等差数列，则下列结论不一定成立的是()Aa，b，c依次成等差数列B.，依次成等差数列Ca2，b2，c2依次成等差数列Da3，b3，c3依次成等差数列答案ABD解析若，依次成等差数列，则，利用tan，整理得.利用正弦定理和余弦定理得2，整理得2b2a2c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，故C一定成立对于A，B，D，当abc时，也能成立，但从题目中并不能得出ABC是等边三角形，所以A，B，D不一定成立故选ABD.11(多选)(2021湖北省仙桃市高三模拟)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数函数f(x)
8、的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是()A函数f(x)为周期函数，且最小正周期为B函数f(x)为奇函数C函数yf(x)的图象关于直线x对称D函数f(x)的导函数f(x)的最大值为7答案BCD解析f(x)sinx，f(x)sin(x)sinxf(x)，不是函数yf(x)的最小正周期，A错误；f(x)sin(x)sinxf(x)，且函数yf(x)的定义域为R，函数yf(x)为奇函数，B正确；f(x)sin(x)sinxf(x)，函数yf(x)的图象关于直线x对称，C正确；f(x)cosxcos3xcos5xcos13x，1cosx1，1cos3x1，1cos5x1，1cos13
9、x1，则f(x)cosxcos3xcos5xcos13x7，又f(0)7，函数yf(x)的最大值为7，D正确故选BCD.12(多选)(2021新高考八省联考)设函数f(x)，则()Af(x)f(x)Bf(x)的最大值为Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递减答案AD解析函数f(x)的定义域为R，且f(x)，f(x)f(x)，故A正确；又f(x)，令y，则4y2cos2xysin2xcos(2x)，其中cos，sin，故1，即y2，故y，当y时，有cos，sin，此时cos(2x)1，即xk，kZ.故ymax，故B错误；f(x)，当x时，f(x)0，故f(x)在上为减函数，故D正确；当x时，
10、1sin2x0，故314sin2x0，即f(x)0，故f(x)在(x0,0)上为减函数，故C错误故选AD.二、填空题13如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，AOC，若|BC|1，则cos2sincos的值为_答案解析由221及点B在圆O上，知圆O为单位圆，所以OCB为正三角形，所以BOC，AOB，由三角函数定义知sin，所以cos2sincoscossinsin.14. 如图，有一块半径为20 m，圆心角AOB的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD(其中AOCBOD)，某次菊花展分别在这四个区域摆
11、放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜预计这三种菊花展示带来的日效益分别是50元/m2、30元/m2、40元/m2.为使预计日总效益最大，COD的余弦值应为_答案解析由题知半径r20，设COD，则日总效益为f()r2sin5030r2404000sin2000，而f()4000cos2000，令f()0，可得cos，易知此时日总效益f()取得最大值15(2022山东威海模拟)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，b2c2accosCc2cosAa2，SABC，则当a_时，ABC的周长取得最小值，最小值为_答案133解析由b2c2accosCc2cosAa2，得b2c2a2c(ac
12、osCccosA)，结合余弦定理，得2bccosAc，即2bccosAcb，所以cosA，又0A，故A.因为SABC，所以bcsinAbc，则bc32(1)2.又由余弦定理，得a2b2c22bccosAb2c2bcbc(1)2，当且仅当bc1时，a取得最小值1，所以abca23(1)，当且仅当abc1时取等号，所以当a1时，ABC的周长取得最小值，最小值为33.16(2021湖北省百所重点中学高三联考)已知函数f(x)asinxcosx图象的一条对称轴为直线x，若函数F(x)f(x)在上的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，则x1x2xn_.答案解析由题意可知，函数f(x)asinxcos
13、xsin(x)，其中cos，sin，由f(x)图象的一条对称轴的方程为x，得，解得a1，所以f(x)2sin，结合函数f(x)2sin与y的图象可知，方程F(x)0有4个根，且x1，x2关于直线x对称，x3，x4关于直线x对称，即x1x22，x3x42，所以x1x2x3x4.三、解答题17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinAsinC2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值解(1)证明：a，b，c成等差数列，2bac，利用正弦定理化简得，2sinBsinAsinC，sinBsin(AC)sin(AC)，sinAsi
14、nC2sinB2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac，cosB，当且仅当ac时等号成立，cosB的最小值为.18(2021江苏省淮安市高中协作体第一学期高三期中)已知m(bsinx，acosx)，n(cosx，cosx)，f(x)mna，其中a，b，xR，且满足f2，f(0)2.(1)求a和b的值；(2)若关于x的方程f(x)log3k0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围解(1)由题意知，f(x)mnabsinxcosxacos2xasin2xaasin2xcos2x，由f2，得ab8，f(x)bcos2xasin2x，又f(0)2，b2，a2.(2)由(1)得f(x)sin
15、2xcos2x12sin1，x，2x，sin1，02sin13，即0f(x)3，又方程f(x)log3k0在区间上总有实数解，f(x)log3k在区间上成立，0log3k3，3log3k0，3log33log3klog31，k1.实数k的取值范围为.19(2022湖南师范大学附属中学高三上第二次月考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m(sinAsinBsinC，sinA)，n(c，bca)，mn且b2.(1)求角B的大小；(2)在，成等差数列，a，b，c成等差数列，a2，b2，c2成等差数列这三个条件中任选一个作为已知条件，求ABC的面积S.解(1)因为mn，所以(sin
16、AsinBsinC)(bca)csinA，由正弦定理可得(abc)(bca)ac，即aca2c2b2，所以cosB，又B(0，)，所以B.(2)若选，由基本不等式可知2，所以2 ，所以b，当且仅当ac时取“” .又b2a2c2ac，所以b2a2c2ac2，即3a23c26ac0，则(ac)20，所以ac.又B，所以ABC是正三角形，所以SacsinB4.若选，由条件可知2bac，b2a2c2ac，所以2a2c2ac，所以3a23c26ac0，所以(ac)20，所以ac.又B，所以ABC是正三角形，所以SacsinB4.若选，由题意可知2b2a2c2，所以2(a2c2ac)a2c2，所以(ac)
17、20，所以ac，又B，所以ABC是正三角形，所以SacsinB4.20在公比为2的等比数列an中，a2与a5的等差中项是9.(1)求a1的值；(2)若函数y|a1|sin，|的一部分图象如图所示，M(1，|a1|)，N(3，|a1|)为图象上的两点，设MON，其中点O为坐标原点，0，求tan()的值解(1)由题可知a2a518，又a58a2，故a22，a1.(2)点M(1，|a1|)在函数y|a1|sin的图象上，sin1.又|，.如图，连接MN，在MON中，由余弦定理，得cos.又0，tan()tantan2.21(2022湖北武汉二中高三上模拟)某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OAS
18、BCD，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB为函数yAsin(x)，x0,3的图象，且最高点为S(1,2)，折线段AOD为固定线路，其中AO，OD4，折线段BCD为可变线路，但为保证驾驶安全，限定BCD.(1)求A，的值；(2)若CBD，试用表示折线段道路BCD的长，并求折线段道路BCD长度的最大值解(1)由已知，知A2，且有2sin(0)，即sin，由|，得，又最高点为(1,2)，01，2sin2，解得，A2，.(2)B点的横坐标为3，代入函数解析式得yB2sin1，BD.在BCD中，若CBD，则BDC，由正弦定理，有，CDsin，BCsin，BCCDsin，当且仅当时，折线段道路BCD最长，最长为千米
