1、第15章 调和点列设两点、内分与外分同一线段成同一比例，即，则称点和调和分割线段，或称点是点关于线段的调和共轭点，亦称点列、，、为调和点列，若从直线一点引射线、，则称线束、为调和线束调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质沈文选线段调和分割的性质及应用J中学教研（数学），2009（9）：28-33沈文选，肖登鹏调和点列的性质与一类竞赛题的证明J数学通讯，2009（6）：43-46沈文选，羊明亮线段的调和分割在证明两角相等的应用J中学教学研究，2009（8）：31-33性质l 设、是共线四点，点是线段的中点，则、调和分割线段的充要条件是满足下述六个条件之一：（1）点、调和分割；（2）；
2、（3）；（4）；（5）；（6）证明（1）、调和分割；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）性质2 设、是共线四点，过共点直线外一点引射线、，则、调和分割线段的充要条件是满足下述两个条件之一：（1）线束、其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；（2）另一直线分别交射线、于点、时，点、调和分割线段证明（1）如图15-2，不失一般性，设过点作交射线于，交射线于注意，有（2）如图15-2，不失一般性，设过点作交射线于，交射线于，则为的中点注意，知为的中点、调和分裂线段推论l 梯形的两腰延长线的交点，两对角线的交点，调和分割两底中点的联线段，证明 如图15-3，在梯形中，是两腰延长线的交点
3、，是两对角线的交点，联结并延长交于，交于，则，即，此两式相乘，相除得，即，亦即、分别为、的中点联结，则对线束、来说，且，则由性质2（1）知、调和分割线段（当然也可由而证）推论2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割此即为第14章中的性质2，下面另证如下证明 如图15-4，在完全四边形中，、是其三条对角线，设直线交于，交于若，则由推论1知，点、调和分割线段若，如图15-4，设直线与直线交于点联结，过点作直线交于，交于，交于，交于，则分别在、中，有，于是，从而又过点作交于，则联结并延长交于，交于，则由为的中点，知为的中点，为的中点，在梯形中，点在上，则由推论1知，、调和分割，即有于是，由
4、平行线性质，有，即知、调和分割线段联结并延长交于点，交于点，则上述证明知，在完全四边形中，、调和分割线段对线束、，由性质2（2），知、调和分割，、调和分割注：当时，也可看作直线与相交于无穷远点，此时，亦有、调和分割，、调和分割推论3过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边（或其延长线）相交，所得线段被此对角线所在直线上的交点平分证明 如图15-5，点、为完全四边形的三条对角线、所在直线的交点，过点与平行的直线，与、交于点，与，交于点、，分别对线束、；、应用性质2（1）知，同理，可证过点与平行的直线的情形，过点与平行的直线的情形性质3 对线
5、段的内分点和外分点，以及直线外一点，给出如下四个论断：是的平分线；是的外角平分线；、调和分割线段；以上四个论断中，任意选取两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题证明（1）由、推出、，此时有，显然（2）由、推出、此时，可过点作交射线于点，交射线于点，如图15-6则由性质2（1）知，从而知，亦知，亦即有平分的外角（3）由、推出、此时，推知是的外角平分线，由此即知、调和分割线段（4）由、推出、此时，结论显然成立（5）由、推出、此时，不妨设，由知，由正弦定理（或共角比例定理）有，亦即有从而知平分，由此亦推知是的外角平分线。下面给出性质3的一系列推论：推论4 三角形的角平分线被其内心和相应的旁
6、心调和分割推论5 不相等且外离的两圆圆心联线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割推论6 若、两点调和分割圆的直径、，则圆周上任一点到、两点的距离之比是不等于1的常数；反之，若一动点到两定点的距离之比为不等于1的常数则该动点的轨迹是一个圆（即为阿波罗尼奥斯圆）推论7 从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点联线，垂直于这条联线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割证明 如图15-7，、为的两条割线交于，直径弦，则，联结、，则知平分设直径所在之心啊交于，交于由，且平分，则知、调和分割推论8 一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是，已知直径的圆周与过两分割点的
7、圆周正交（即交点处的切线互相垂直）证明 如图15-8，已知与相交于点，过、，为的直径，且、共线、调和分割平分注意到，有为的切线，即推论9 设点是的内心，角平分线交边于点，射线交的外接圆于点，则射线上的点为的旁心的充要条件是证明 如图15-8，由题设（即内心的性质），有，即为的圆心在内，为的旁心注意平分时，有（或平分的外角）在上，且这时最后一步反过来推导时用到如下的同一法：当时，在射线上取点，使，则知在上，即有，注意到平分，由性质3知，即，亦即而，则，即与重合故在上，且推论10 设的角平分线交于，交的外接圆于点，则性质4 三角形的一边被其边上的内（旁）切圆的切点和另一点调和分割的充要条件是，另一
8、点与其余两边上的两个切点三点共线（参见第10章性质1，即得此性质的证明）注：若过两切点的直线与另一切点所在边平行，则可视为交于无穷远点，此时上述结论仍然成立推论11 若凸四边形有内切圆，则相对边上的两切点所在直线与凸四边形一边延长线的交点、这一边上的内切圆切点，调和分割这一边性质5从外一点引圆的割线交于、，若割线与点的切点弦交于点，则弦被、调和分割（参见第18章性质4）证明 如图15-9，过作的切线、，切点为、，则为点的切点弦，即点在上联结交于点，联结，则由，知、四点共圆从而，即知为的内角的外角平分线，又，则由性质3知，弦被、调和分割注：也可这样证，过作于，则为的中点由、共圆，知，从而由性质1
9、（5）知、调和分割推论12 从外一点引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边形的对角线相交于点，设直线交于、，则、调和分割弦证明 如图15-10，割线、交于、，过作切线、，、为切点，则为点的切点弦设与交于点，与交于点，与交于点由于，以及，即有，且，从而对应用赛瓦定理的逆定理，知、共点，即知、三线共点于，亦即点在切点弦上由性质5知，、调和分割弦注：若运用完全四边形密克点的性质可如下简证：过作直线与，则为完全四边形的密克点，且、五点共圆，有，于是，有同理而，则，即、三点共线故、调和分割弦性质6 设过外一点任意引一条割线交圆周于点及，则点对于弦的调和共轭点的轨迹是一条直线证明 由性质1（6），
10、线段的中点满足等式：而此式表明：点所在的直线为已知和点的根轴因此，点在一条定直线上，如图15-11在性质6中，点的轨迹常称为点对于的极线，而点称为这极线的极点（参见第18章）显然，点的极线垂直于点和圆心的联线，且交此联线于定点与在点的同侧，又由下式确定（设为的半径）：此式亦表明点和调和分割直线上的的直径由上可知：若点在圆外，则其对于圆的极线就是由点所作两切线的切点的联线（也可由性质5推知）；若点在圆周上，则其对于圆的极线为过点的切线命题1 若点在圆内且异于圆心，其对于圆的极线在圆外，设以点为中点的弦为，过两端点、作圆的切线交于点，则极线为过点且与垂直的直线证明如图15-11，设已知圆为，其半径
11、为由题设条件知，有由此即证或者，设过点的直线交于、，交直线于，则线段的中点的轨迹是线段的中垂线，故点就是点对于弦的调和共轭点命题2 若点在点对于的极线上，那么点也在点对于的极线上（的半径为）证明 如图15-12，设在对于的极线上，那么它在直线上的射影满足设是在直线上的射影，则四边形为圆内接四边形于是，所以直线是点对于的极线对于命题2中的点、，我们可称为对于的一对互轭极点推论13 的一对共轭极点、调和分割直线截的弦命题3 设过圆外一点引两割线、，并将此两割线与圆周的交点、两两联线，那么所得的直线相交于E、G，如图15-13当割线绕点旋转时，此两点、的轨迹是点的极线证明如图15-13，由于为直线和
12、的交点为与的交点，应用推论12，知直线和弦及的交点、是点对于此两弦的调和共轭点因此，直线是点对于圆的极线注：同理，直线是点对于圆的极线可由命题2，知直线是点对于圆的极线，由此，可简捷推证推论12推论14 设圆内接凸四边形的两双对边与、与的延长线分别交于点、，如图15-13，若点对于圆的极线交圆于、，点对于圆的极线交圆于、，则过点、的两切线的交点为图与的交点关于弦的调和共轭点证明 由于、是点对于圆的极线与圆的交点，则知为点的切点弦，即过点、的两切线的交点即为而点在上，由性质5或推论12知，点为点关于弦的调和共轭点推论15 若凸四边形有内切圆，且一组对边上的两切点分别关于所在边的调和共轭点重合，则
13、另一组对边上的两切点分别关于所在边的调和共轭点也重合（参见练习题14第3题）证明如图15-14，凸四边形有内切圆，设、分别为边、上的切点，且点、分别关于边、的调和共轭点均为此时，点的极线为，注意到性质4与5，点关于弦的调和共轭点为上一定点又由性质4与5知点关于的调和共轭点，也为点关于弦的调和共轭点，点关于的调和共轭点为点关于弦的调和共轭点，从而与重合，重合于边、的延长线的交点下面，给出应用上述性质处理问题的例子例l（1999年全国高中联赛题）如图15-15，在四边形中，对角线平分的中点，边上取一点，与交于点，延长交于求证：证明 设直线与直线交于点（或无穷远点），且分别与交于点，则在完全四边形中
14、，应用推论2，知、调和分割，、调和分割由平分，则由性质3，知再由性质3知例2（1998年全国高中联赛题）如图15-16，分别是的外心，内心，是边上的高，在线段（）上求证：的外接圆半径等于边3上的旁切圆半径证明 设为外切于边的旁切圆的圆心，联结交于，交于，则为的中点，联结，则，作于，则为的半径由平行线性质，有， （*）由推论9，有即有，从而而，故例3（2007年试题）如图15-17，设，分别为的外心和内心，的内切圆与内切圆边、分别相切于点、，直线与相交于点，直线与相交于点，点、分别为线段、的中点求证：证明 由性质4，知、调和分割，又为中点，则有同理设、分别为的外接圆和内切圆半径，则，由圆幂定理，
15、有，结合、两式，有，故例4（2008年国家队选拔赛题）在中，它的内切圆切边于点，联结交内切圆于点（不同于点）在线段上取异于点的一点使得，联结并延长交于点求证：证明 如图15-18，设内切圆切边于，切边于，直线与直线交于点，则由推论15知，过点的切线经过点又由知联结，则由性质4知，、为调和线束，从而，由性质2即知例5（2007国家队选拔赛）已知是的弦，是弧的中点，是外任一点，过点作的切线、，联结、分别交于点、，过点、作的垂线，分别交、于点、，再过点任作的割线，交于点、，联结交于点设是的外心求证：、三点共线证明 如图15-19，联结，则，从而，即有，亦即于是，以为圆心，以为半径作，则与相切于点联结
16、、，则知平分，平分联结，则由推论10知，有又由切割线定理，有、表明点和点关于和的幂都相等，于是直线就是这两个圆的根轴因此同理，故知、三点共线例6（由2005年国家队培训题改编）在直线中，它的内切圆分别切边、于点、，联结，与内切圆相交于另一点，过作内切圆的切线与直线交于点联结、，且求证：为的中点证明 如图15-20，联结，则为等腰直角三角形，于是，注意到，则知又，则，有联结，由，知，于是由即有 注意到及式，知，由此知为等腰三角从而，于是联结，延长交于点，即知设直线交于，则由推论15知点在直线上，又由性质5知，点、调和分割弦，则、为调和线束，注意到，则由性质2知为的中点，故为的中点例7（2008年
17、蒙古国家队选拔考试题）已知四边形内接于以为直径的圆为点关于的对称点，为点关于的对称点，直线与，与分别交于点、证明：证明 如图15-21设与交于点由于，四点共圆，则，即知平分又为直径，则即知平分的外角因此，；为调和点列进而，为调和线束由于，则，故例8（2007年第38届奥地利数学奥林匹克题）已知的外心为，为的延长线上一点，直线与关于对称，直线与关于对称，与变于点若点在的延长线上运动，求点的轨迹解如图15-22，设直线与交于点，与的第二个交点为，则于是，分别是的角平分线，外角平分线，所以，是调和点列类似地，与的交点若为，则，也是调和点列因此由于是延长线上的动点，故的轨迹为线段内部的点例9 设的内切
18、圆分别与边，切于点，与交于点，为的外接圆与的交点，与交于点即证明 如图15-23，设直线与直线交于点，与直线交于点对及截线应用梅涅劳斯定理，有于是，（*）注意到，；，为调和点列，知，；，调和线束，由调和线束的性质知，；，为调和点列，即有再结合(*)式，可得原问题等价于为的中点由，知，四点共圆，从而，又，则对、应用正弦定理，有 （*）再注意到四边形为调和四边形，则，亦即，将其代入（*）式知，即为的中点故原问题获证练习十五1（1996年全国高中联赛题）圆与圆与的三边所在的三条直线都相切，、为切点，并且、的延长线交于点求证：直线与垂直2（2005年全国高中联赛题）在中，设过点作的外接圆的切线又以为圆
19、心，为半径作圆分别交线段于点，交直线于点、证明：直线、分别通过的内心与一个旁心3（1990年中国国家队集训题）已知和外离，两条公切线分别切与、，切于、，弦、分别交直线于、，过、分别交、于、求证：4（数学教学数学问题791号）在中，是斜边上的高，是的中点，射线交于点，过作交的延长线于点，交于点求证：5（数学教学数学问题766号）凸四边形的对角线交于点，两组对边所在直线交于点，过点作，另过点的直线交对边、于点求证：6（数学教学数学问题651号）在凸四边形中，边，的延长线交于点，边、的延长线交于点若于求证：7（数学教学数学问题561号）为内一点，使，是线段上的点，直线分别交边，于，求证：8（数学教学
20、数学问题481号）已知的内切圆在，上的切点分别为，且，为垂足求证：平分9（数学教学数学问题506号）已知、，为锐角的三条高，过作的平行线，分别交和于、为与的延长线的交点，证明：的外接圆通过的中点10（数学教学数学问题756号）线段，与圆相切，为切点，是不经过点的圆的割线，在，之间，经过点的圆的切线，于，是线段上一点，且求证：11（2007年泰国数学奥林匹克题）已知，是由外一点引出的两条切线，分别为线段，的中点，延长交于点，点在与之间，交于点，延长交于点证明：四边形为菱形12（2007年第21届北欧数学竞赛题）已知为外一点，过引的割线交于点，且点在线段的内部，过点引的两条切线，切点分别为，设与交
21、于点证明：13（2005年第15届日本数学奥林匹克题）已知外一点，由向引两条切线，切点分别为，过点作直线，与交于点，且满足若与交于点，与交于点，与的中垂线交于点证明：，四点共圆14，是的两条切线，切点为，弦，割线交于，求证：平分15三角形的两个顶点，被这两顶点所在边上的内切圆的切点，内切圆切另两边的切点在直线和这边的交点（可为无穷远点）调和分割16的内切圆分别切，边于点，；与交于点，与交于点，与交于点；，分别交内切圆于点，则点列，；，点列，；，点列，；，均为调和点列17设的内切圆分别切，边于点，；与交于，与交于点，与交于点；，三线交于点，则点列，；，点列，；，点列，；，均为调和点列18设的内切圆分别切，边于点，；，分别交内切圆于点，；，分别交内切圆于点，；直线与直线交于点（可为无穷远点），直线与直线交于点（可为无穷远点），直线与直线交于点（可为无穷远点），则点列，；，点列，；，点列，；，均为调和点列
