1、等比数列及其前n项和一、选择题1(2021贵州贵阳一中高三月考)已知各项均为正数的等比数列an，前3项和为13，a3a2a4，则a4()ABC1D3A由题意，等比数列an的各项均为正数，即an0，因为a3a2a4a，可得a31，又因为S3113，可得q，所以a4a3q2(2021重庆八中高三月考)若等比数列an满足a1a2a3，且a1a2a3，则a3a4a5a6()A B2 C D3B设等比数列的公比为q，由题意可得：即解得：所以an，所以a3a4a5a623等比数列an中，a1a2a33，a4a5a66，则an的前12项和为()A90 B60 C45 D32C设数列的公比为q，则q32，所以
2、a7a8a9(a4a5a6)q36212，同理a10a11a1224，所以S12(a1a2a3)(a10a11a12)361224454中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A6里 B12里 C24里 D48里B记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比为的等比数列，由S6378，得S6378，解得a1192，a519212(里)故选B5(2020全国卷
3、)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k()A2 B3 C4 D5C令m1，则由amnaman，得an1a1an，即a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an2n，所以ak1ak2ak10ak(a1a2a10)2k2k1(2101)2152525(2101)，解得k4，故选C6已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A若a1a20，则a1a30B若a1a30，则a1a20C若a10，则S2 0210D若a10，则S2 0200CA错误，如数列：1,2，4，BD错误，如数列1，2,4，C正确，当q0时，显然S2 021
4、0；当0q1时，及q1时“1q”与“1q2 021”同号，故S2 0210；当q1时，显然S2 0210，故C正确二、填空题7(2021黄冈中学高三模拟)设数列an的前n项和为Sn，写出an的一个通项公式an ，满足下面两个条件：an是单调递减数列；Sn是单调递增数列 (答案不唯一)根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子，an就是符合条件的例子，故答案为 (答案不唯一)8(2021凯里一中高三三模)已知数列an满足：a10，an12an(nN*)，Sn为数列an的前n
5、项和，则 8因为a10，an12an(nN*)，2q，q389若在前n项和为Sn的等比数列an中，a1a2a3a4a，S26，则数列an的通项公式为 an2n或an(3)n设等比数列an的公比为q，若q1，则无解；若q1，则而q及a1均不为0，则有或解 得 或解无解，所以an2n或an(3)n三、解答题10(2020全国卷)设等比数列an满足a1a24，a3a18(1)求an的通项公式；(2)记Sn为数列log3an的前n项和若SmSm1Sm3，求m解(1)设an的公比为q，则ana1qn1由已知得解得a11，q3所以an的通项公式为an3n1(2)由(1)知log3ann1故Sn由SmSm1
6、Sm3得m(m1)(m1)m(m3)(m2)，即m25m60解得m1(舍去)，m611设数列an中，a11，a2，an2an1an，令bnan1an(nN*)(1)证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an2an1an，an2an1(an1an)，而bnan1an，bn1bn，又b1a2a1，bn是首项为，公比为的等比数列(2)由(1)知bn，anan1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a11331已知an为等比数列，数列bn满足b12，b25，且an(bn1bn)an1，则数列bn的前n项和为()A3n1 B3n1C DCb12，b25，且an(bn
7、1bn)an1，a1(b2b1)a2，即a23a1，又数列an为等比数列，数列an的公比为q3，bn1bn3，数列bn是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn的前n项和为Sn2n3故选C2如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为 由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有122n11 023，n10，最小正方形的边长为3设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(
8、1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2n1解(1)S1a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列，Sn2n1，又当n2时，anSnSn12n2(21)2n2当n1时，a11不适合上式an(2)a3，a5，a2n1是以2为首项，以4为公比的等比数列，a3a5a2n1a1a3a2n111将正整数排成如图所示：试问2 020是表中第 行的第 个数11997由题意得第n行有2n1个数，20222232425262728291 023，20222232425262728292102 047，2 020是表中第11行的第997个数2设Sn为等比数列an的前n项和，已知满足 ，求公比q以及aaa从a2
9、a532且a3a44，a11且S69S3，S2a31且S3a41这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答解若选，则有a2a5a3a432，故有a3a432，a3a44，解得a34，a48，或a38，a44，即q2或q因为a是以a为首项，q2为公比的等比数列，若q2，a11，此时aaa；或q，a132，此时aaa若选，8，即q38，故q2因为a是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以aaa若选，S2a31(*)，S3a41(*)令(*)式减(*)式，得a3a4a3，即a42a3，故q2则(*)式中，a1a2a31，即a12a14a11，即a11因为a是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以aaa
