1、椭圆及其性质 一、选择题1(2019北京高考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4bB由题意，得，则，4a24b2a2，即3a24b2故选B2已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()AB(1，)C(1，2)DC由题意得解得1k2故选C3如图，椭圆1(a2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若F1PF260，那么PF1F2的面积为()ABCDD由题意知|PF1|PF2|2a，|F1F2|24a216，由余弦定理得4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即4a216(|PF1|PF2|)23|
2、PF1|PF2|，|PF1|PF2|，S|PF1|PF2|sin 60，故选D4以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()AB1CDB设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设2c，则c，c由椭圆定义，得2a|DF1|DF2|cc，所以e1，故选B5点P在焦点为F1(4，0)和F2(4，0)的椭圆上，若PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为()A1B1C1D1C由题意，2c8，即c4， PF1F2面积的最大值为16，2cb16，即4b16，b4，a2b2c2161632
3、则椭圆的标准方程为1故选C6已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点若A1PA2的最大值可以取到120，则椭圆C的离心率为()ABCDD由题意知，当点P在椭圆的短轴端点处时，A1PA2有最大值，则tan 60，即所以e211，即e，故选D二、填空题7已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为_(5，0)圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3，0)，c3又b4，a5椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5，0)8(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若MF1F2为等腰三角
4、形，则M的坐标为_(3，)不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)9已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足120的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_满足120的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有cb，即c2b2，又b2a2c2，所以c2a2c2，即2c2a2，所以e2，又因为0e1，所以0e三、解答题10已知点P是圆F1：(x1)2y216上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，P
5、F2交于M，N两点求点M的轨迹C的方程解由题意得F1(1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，且|MF2|MP|，从而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4|F1F2|2，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点M的轨迹方程为111如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即bc所以ac，e(2)由题意知A(0，b)，
6、F2(1，0)，设B(x，y)，由2，得解得x，y代入1，得1即1，解得a23所以椭圆方程为11(2021潍坊三模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，给出以下四个结论： |QF1|QP|的最小值为21；椭圆C的短轴长可能为2；椭圆C的离心率的取值范围为；若，则椭圆C的长轴长为则上述结论正确的是()ABCDC因为|F1F2|2，所以F2(1，0)，|PF2|1，所以|QF1|QP|2|QF2|QP|2|PF2|21，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故正确；若椭圆C的短轴长为2，则b1，a2，所以椭圆方程为1，1，则点P
7、在椭圆外，故错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以1，又ab1，所以ba1，所以1，即a23a10，解得a，所以，所以e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；若，则F1为线段PQ的中点，所以Q(3，1)，所以1，又ab1，即a211a90，解得a，所以，所以椭圆C的长轴长为，故正确故选C2(2021重庆模拟)如图所示，用一束与平面成60角的平行光线照射半径为的球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的()A长轴长为3B离心率为C焦距为2D面积为3C由题意知：OBAB，OB，BAO60，OA2，椭圆C长轴长2a2OA4，A错误；椭圆C的短轴长为球O的直径，即2b2，b，c1，椭圆
8、C的焦距为2c2，C正确； 椭圆C的离心率e，B错误；由图可知：椭圆C的面积大于球O大圆的面积，又球O大圆的面积S3， 椭圆C的面积大于3，D错误故选C3(2020全国卷)已知椭圆C：1(0m5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP|BQ|，BPBQ，求APQ的面积解(1)由题设可得，得m2，所以C的方程为1(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y(x5)，所以|BP|yP，|BQ|因为|BP|BQ|，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP3或3
9、由直线BP的方程得yQ2或8所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(3，1)，Q2(6，8)|P1Q1|，直线P1Q1的方程为yx，点A(5，0)到直线P1Q1的距离为，故AP1Q1的面积为；|P2Q2|，直线P2Q2的方程为yx，点A到直线P2Q2的距离为，故AP2Q2的面积为综上，APQ的面积为1已知椭圆G：1(0b)的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|PB2|PF1|PF2|，当b变化时，给出下列三个命题：点P的轨迹关于y轴对称；|OP|的最小值为2；存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，其中，所有正确命题
10、的序号是_椭圆G：1(0b)的两个焦点分别为F1(，0)和F2(，0)，短轴的两个端点分别为B1(0，b)和B2(0，b)，设P(x，y)，点P在椭圆G上，且满足|PB1|PB2|PF1|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|PB2|2a22b，即有P在椭圆1上，对于，将x换为x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，故正确；对于，由图像可得，当P满足x2y2，即有6b2b2，即b时，|OP|取得最小值，可得x2y22时，即有|OP|2取得最小值为2，故正确；对于，由图像可得轨迹关于x，y轴对称，且0b，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个，故不正确故答案为2(2
11、019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解(1)连接PF1(图略)，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1由及a2b2c2得y2又由知y2，故b4由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4当b4，a4时，存在满足条件的点P所以b4，a的取值范围为4，)