1、数列一、选择题1(2021聊城高三模拟)等差数列an(nN*)的前n项和为Sn，若S2 0214 042，则a1 011()A2 B4 C1 010 D2 010A因为S2 0212 0212 0212 021a1 0114 042，所以a1 0112，故选A2设正项等比数列an满足a4a336，a26，则a1()A3 B C2 DC设等比数列an的公比为q，因为a4a336，a26，所以a2q2a2q36，即6q26q36，q2q6，解得q3或2(舍去)，q3，则a12，故选C3(2021山东省实验中学高三二模)已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290
2、，则该数列的中间项为()A28 B29 C30 D31B设等差数列an共有2n1项，则S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2n，中间项为an1，故S奇S偶a1(a3a2)(a5a4)(a2n1a2n)a1ddda1ndan1，an1S奇S偶31929029，故选B4已知等差数列an的前n项和为Sn，且a8a56，S9S475，则Sn取得最大值时n()A14 B15 C16 D17A设等差数列an的公差为d，a8a56，S9S475，3d6,5a130d75，解得a127，d2，an272(n1)292n令an0，解得n14则Sn取得最大值时n14故选A5在九章算术中有一个古典名题“两鼠
3、穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半大意是：有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙大老鼠一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢()A5 B6 C7 D8B大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则满足33，即2n1233，即2n32，则f(n)2n在n1上单调递增，f(5)253232，相遇时是第6天，故选B6已知数列an为等差数列，若a1，a6为函数f(x)x29x14的两个零点，则a3a4()A14 B9 C14 D20D等差数列a
4、n中，a1，a6为函数f(x)x29x14的两个零点，a1a69，a1a614，a12，a67，或a17，a62，当a12，a67时，d1，a34，a45，a3a420当a17，a62时，d1，a35，a44，a3a420故选D7已知等差数列an的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：(0)；A，B，O确定一个平面；a3a98，则S100()A29 B40 C45 D50D因为，且A，B，O确定一个平面，所以A，B，C三点共线，且A，B，C，O四点共面又因为a3a98，所以a3a981又因为an是等差数列，所以S10050，故选D8将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行
5、从左向右的第3个数为()A13 B39C48 D58C由排列的规律可得，第n1行结束的时候共排了123(n1)个数，则第n行的第一个数字为1，第10行的第一个数字为46，故第10行从左向右的第3个数为48，故选C二、填空题9等比数列an的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则an的公比q等于 S1，S3，S2成等差数列，可得2S3S1S2，即2(a1a2a3)a1a1a2，所以2a1(1qq2)a1(2q)，化为2q2q0，解得q(q0舍去)10在数列an中，已知a11，an1antn(nN*，t为非零常数)，且a1，a2，a3成等比数列，则an a2a1t1t，a3a22t13t，
6、依题意a1，a2，a3成等比数列，即(1t)21(13t)，解得t0(舍去)，t1n2时，a2a11，a3a22，anan1n1，以上各式相加得ana112(n1)n(n1)，即有ann1时，表达式也成立，所以nN*，an11为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(nN*)年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于 (盈利额总收入总成本)4设每年的营运成本为数列an，依题意该数列为等差数列，且a13，d2所以n年后总营
7、运成本Snn22n，因此，年平均盈利额为：n1821810，当且仅当n4时等号成立12等差数列an的公差为2，若aa2a8，且2n1(nN*)，则b3 ，数列bn的通项公式为 48bn等差数列an的公差为2，aa2a8，(a132)2(a12)(a172)，解得a12an22(n1)2n2n1(nN*)，n2时，2n，2n12n2n，可得：bnn2n1n1时，22，解得b18bnb332448三、解答题13(2021新高考卷)已知数列an满足a11，an1(1)记bna2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；(2)求an的前20项和解(1)因为bna2n，且a11，an1所以b1a2a1
8、12，b2a4a31a2215因为bna2n，所以bn1a2n2a2n11a2n11a2n21a2n3，所以bn1bna2n3a2n3，所以数列bn是以2为首项，3为公差的等差数列，bn23(n1)3n1，nN*(2)因为an1所以kN*时，a2ka2k11a2k11，即a2ka2k11，a2k1a2k2，a2k2a2k11a2k11，即a2k2a2k11，所以得a2k1a2k13，即a2k1a2k13，所以数列an的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；得a2k2a2k3，即a2k2a2k3，又a22，所以数列an的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列所以数列an的前20项和S20(a1
9、a3a5a19)(a2a4a6a20)10320330014(2021江苏盐城中学高三一模)已知数列an的前n项和Snn2(1)求数列an的通项公式；(2)在bn，bnan2n，bn(1)nSn这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题若 ，求数列bn的前n项和Tn解(1)因为Snn2，所以Sn1(n1)2(n2)，所以anSnSn12n1(n2)，当n1时，a1S11适合上式，所以an2n1(2)若选：因为bn，所以Tn1若选：因为bnan2n(2n1)2n，所以Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，则2Tn122323524(2n3)2n(2n1)2n1，两式相减
10、可得：Tn222222322n(2n1)2n12(2n1)2n16(2n3)2n1，所以Tn6(2n3)2n1若选：bn(1)nSn(1)nn2，当n为偶数时，Tn12223242(n1)2n2(2212)(4232)372n1；当n为奇数时，TnTn1n2n2；综上：Tn(1)n15设数列an的前n项和为Sn，a11， 给出下列三个条件：条件：数列an为等比数列，数列Sna1也为等比数列；条件：点(Sn，an1)在直线yx1上；条件：2na12n1a22annan1试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n
11、项和Tn解选条件：(1)数列Sna1为等比数列，(S2a1)2(S1a1)(S3a1)，即(2a1a2)22a1(2a1a2a3)设等比数列an的公比为q，(2q)22(2qq2)，解得q2或q0(舍)，ana1qn12n1(2)由(1)知：an2n1，bn，Tn选条件：(1)点(Sn，an1)在直线yx1，an1Sn1，又anSn11(n2，nN)，两式相减有：an12an，又a11，a2S112，也适合上式，故数列an是首项为1，公比为2的等比数列ana1qn12n1(2)由(1)知：an2n1，bn，Tn选条件：(1)2na12n1a22annan1，2n1a12n2a22an1(n1)
12、an(n2)，即2na12n1a222an12(n1)an，(n2)由两式相减可得：2annan12(n1)an，即an12an，又a11，a22a1，也适合上式，故数列an是首项为1，公比为2的等比数列ana1qn12n1(2)由(1)知：an2n1，bn，Tn16已知函数f(x)xln xkx，kR(1)求yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若不等式f(x)x2x恒成立，求k的取值范围；(3)求证：当nN*时，不等式ln(4i21)成立解(1)函数yf(x)的定义域为(0，)，f(x)1ln xk，f(1)1k，f(1)k，函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yk(k
13、1)(x1)，即y(k1)x1(2)对于不等式f(x)x2x恒成立，即xln xkxx2x恒成立，因为x0，所以ln xkx1恒成立，即ln xxk10恒成立设g(x)ln xxk1(x0)，g(x)1，x(0,1)，g(x)0，g(x)单调递增，x(1，)，g(x)0，g(x)单调递减，不等式f(x)x2x恒成立，且x0，ln xxk10，g(x)maxg(1)k20即可，故k2(3)证明：由(2)可知：当k2时，ln xx1恒成立，令x，由于iN*，0故ln 1，整理得：ln(4i21)1，变形得： ln(4i21)1，即：ln(4i21)1，i1,2,3，n时，有ln 31，ln 151，ln(4n21)1，两边同时相加得：ln(4i21)n，所以不等式在nN*上恒成立
