1、圆锥曲线中的范围、最值问题1已知椭圆C：x22y24(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22因此a2，c故椭圆C的离心率e(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28故线段AB长度的最小值为22已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1，
2、0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|5|PF2|，且cosF1PF2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|BQ|，求k的取值范围解(1)由题意设|PF1|r1，|PF2|r2，则3r15r2又r1r22a，联立，解得r1a，r2a在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2，解得a24因为c1，所以b2a2c23，于是椭圆C的标准方程为1(2)由消去y并整理，得(34k2)x28kmx4m2120设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且(8km)24(34k2)(4m212)48(34k2m2)0设线
3、段AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0，y0kx0m因为|AQ|BQ|，所以ABQM，又Q，M为线段AB的中点，所以k0，直线QM的斜率存在，所以kkQMk1，解得m把代入，得34k2，解得k或k即k的取值范围为3在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|AF|(1)求C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求OPQ的面积的最大值解(1)点A在抛物线C上，|AO|AF|，p2，C的方程为x24y(2)设直线方程为ykxb，代入抛物线方程，可得x24kx4b0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，y1y24k22b，线段PQ的中点的纵坐标为1，2k2b1，OPQ的面积Sbb(0b1)，设yb3b2，y3b22b0，故函数单调递增，b1时，OPQ的面积取得最大值为2
