1、第十二节 导数的概念及运算基础梳理1.函数f(x)从x1到x2的平均变化率函数f(x)从x1到x2的平均变化率为_，若x=x2-x1，y=f(x2)-f(x1)，则平均变化率可表示为_2.函数f(x)在x=x0处的导数(1)定义称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率_=_为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0)或y|x=x0，即f(x0)=2121f xf xxx yx000limxf xxf xx 0limxyx 000limxf xxf xx (2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点_处的_相应地，切线方程为_3.函数f(x)的导函数函
2、数f(x)=_称为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.(x0，f(x0)切线的斜率y-f(x0)=f(x0)(x-x0)000limxf xxf xx 4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=cf(x)=_f(x)=xn(nQ*)f(x)=_f(x)=sin xf(x)=_f(x)=cos xf(x)=_f(x)=ax(a0)f(x)=_f(x)=exf(x)=_f(x)=logax(a0，且a1)f(x)=_f(x)=ln xf(x)=_ 0nxn-1 cos x-sin xaxln aex1xlna1x5.导数运算法则(1)cf(x)=_；(2)f(x)g(x)=_；(3)f(x
3、)g(x)=_；_(4)f xg x f(x)g(x)+f(x)g(x)cf(x)f(x)g(x)2(g(x)0)fx g xf x g xg x 基础达标1.(教材改编题)一物体的运动方程是s=3+t2，则在时间段2,2.1内相应的平均速度为()A.0.41 B.3 C.4 D.4.1D 解析：32.123224.12.12st 2.设函数f(x)可导，则等于A.f(1)B.3f(1)C.f(1)D.f(3)1301 31lim3xfxfx A 解析：011lim(1)xfxffx 3.函数的导数是()A.B.sin xC.D.cosxyx2sinxx2cosxxsinxx2xsinxcos
4、xxD 解析：222cosxxcosx xxsinxcosxxsinxcosxyxxx 4.(2011山东青岛模拟)设f(x)=xln x，若f(x0)=2，则x0=()A.e2B.ln 2 C.D.e22lnD 解析：f(x)=xln x+x(ln x)=ln x+1，f(x0)=ln x0+1=2，ln x0=1，x0=e.5.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线的斜率为_ 解析：y=ex+xex+2，y|x=0=e0+0+2=3，切线斜率k=3.3经典例题【例1】求函数y=x2在x=1处的导数题型一 应用导数概念求导数解：y=(1+x)2-12=2x+(x)2，即f(1)=2.
5、=2+x,yx00(1)limlim(2)2xxyfxx 【例2】求下列函数的导数(1)y=(3x3-4x)(2x+1)；(2)y=题型二 导数的运算1lnxx(3)y=3xex-3x+e2.解：(1)方法一：y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x，所以y=24x3+9x2-16x-4.方法二：y=(3x3-4x)(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)2=24x3+9x2-16x-4.（2）222111111111xlnxlnxxlnxxxyxxlnxx xx (3)y=(3x)ex+3x(ex)-(3x)+(e2)=3
6、xln 3ex+3xex-3xln 3=3xln 3(ex-1)+3xex.题型三 导数的几何意义的应用【例3】已知曲线，求曲线在点P(2,4)处的切线方程31433yx解：y=x2，切线的斜率k=y|x=2=4，切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2011衡阳八中高三月考)曲线f(x)=xln x在点x=1处的切线方程为()A.y=2x-2 B.y=2x+2C.y=x-1 D.y=x+1变式3-1C 解析：因为f(x)=ln x+1，所以f(1)=ln 1+1=1.又f(1)=0，所以所求切线方程为y-f(1)=f(1)(x-1)，即y=x-1.易错警示【例】已知曲线y=x
7、3-3x，求过点A(0,16)的切线方程错解 因为y=(x3-3x)=3x2-3，切线斜率k=y|x=0=-3，过A(0,16)的切线方程为y-16=-3(x-0)，即3x+y-16=0.错解分析 f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率，其条件为(x0，f(x0)是曲线上的点，而本题中的点A(0,16)不在此曲线上，即点A不是切点，因此导致错误正解：设切点P的坐标为(x0，y0)，则在点P的切线方程为y-y0=(3x02-3)(x-x0)，切线过点A(0,16)且y0=x03-3x0，16-(x03-3x0)=(3x02-3)(0-x0)，x03+8=0，x0
8、=-2，即切点为P(-2，-2)，此时切线方程为9x-y+16=0.过点A(0,16)的切线方程为9x-y+16=0.链接高考(2010辽宁)设P点在曲线上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是()41xye33.0.44 22 44ABCD 知识准备：1.知道(ex)=ex，会用商的求导法则：2f xfx g xf x g xg xgx 2.掌握了斜率与倾斜角的关系：k=tan a，且在 内，k随a的增大而增大，在内，k也随a的增大而增大，从而由斜率k的范围，求出倾斜角a的范围；0 22 3.能通过配方法，求二次函数在给定区间上的值域：如y=4x2-4x(0 x1)，则，当0 x1 时，-1y0，即值域为-1,0)21412yx.D 解析：令ex+1=t，则t1.t1，-1y0，-1tan a0，101t34244,11xxexyee 222444411412tytttt