1、最后冲刺【高考预测】1.集合的概念与性质 2.集合与不等式 3.集合的应用 4.简易逻辑5.充要条件 6.集合的运算7.逻辑在集合中的运用 8.集合的工具性9.真假命题的判断 10.充要条件的应用易错点1 集合的概念与性质 1(2012模拟题精选)设全集U=R，集合M=x|x1，P=x|x21，则下列关系中正确的是 ( ) A.M=P BPM C.MP DCUP=【错误答案】 D【错解分析】 忽视集合P中，x-1部分【正确解答】 C x21 x1或x-1故MP 2(2012模拟题精选)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=a+b|aP，bQ，若P0，2，5，Q=1，2，6，则P+Q中元素
2、的个数是（ ） A9 B8 C7 D6【错误答案】 A P中元素与Q中元素之和共有9个 【错解分析】 忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个【正确解答】 B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个 3(2012模拟题精选)设f(n)=2n+1(nN)，P=l，2，3，4，5，Q=3，4，5，6，7,记=nN|f(n) P，=nN|f(n) 则(CN) (CN)等于 ( ) A0，3 B1，7 C3，4，5 D1，2，6，7【错误答案】 D PCNQ=6，7QCNP=1，2故选D【错解分析】 未理解集合 的意义.【正确解答】 B =1，3，5=3，5，7CN=1
3、. CN=7故选B 4设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是 ( ) A（CIA）B=I B(CIA) (CIB)=I CA(CIB)= D(CIA)(CIB)= CIB 【错误答案】 因为集合A与B的补集的交集为A，B的交集的补集故选D要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题2注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB，则有A=或A 两种可能，此时应分类讨论【变式探究】 1 全集U=R，集合M=1，2，3，4，集合N=，则M(CUN)等于 ( )
4、A4 B3，4 C2，3，4 D 1，2，3，4答案：B 3 设M=x|x4a，aR，N=y|y=3x，xR，则 ( )AMN= BM=NC. MN D. MN 答案：B 解析：M=4 已知集合A=0，2，3，B=x|x=ab,a、bA且ab，则B的子集的个数是 ( )A4 B8 C16 D15 答案：解析：它的子集的个数为22=4。5 设集合M=(x，y)|x=(y+3)|y-1|+(y+3)，-y3，若(a，b)M，且对M中的其他元素(c，d)，总有ca，则a=_.答案：解析：依题可知，本题等价于求函数不胜数x=f(y)=(y+3).|y-1|+ (y+3)在当1y3时，x=(y+3)(y
5、-1)+(y+3)=y2+3y=(y+)2-易错点 2 集合与不等式1(2012模拟题精选)集合A=，B=x|x-b|a，若“a=1”是“AB”的充分条件，则b的取值范围是 ( )A-2b2 B-2b2C-3b-1 D-2b2【错误答案】 A 当a=l时，A=x|-1x1且B=x|b-1xb+1AB.b-11且b+1-1.故-2b2只有A符合【错解分析】 AB时，在点-1和1处是空心点，故不含等于说明理由【错误答案】 (1)因为f(x)=(xR)，所以f(x)=，依题意f(x)0在-1，1上恒成立，即2x2-2ax-40在-1，1上恒成立当x=0时，aR;当0x1时，ax-恒成立，又y=x-在
6、(0，1)上单调递增，所以y=x-的最大值为-1，得a-1,当-1x0时，t恒成立，所以-1,解得m2；当m0时，t恒成立，所以1，解得m-2综上：故不存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立【错解分析】 (1)讨论x求参数的范围，最后应求参数的交集而不是并集因为x-1，1时,f(x)0恒成立(2)注意对求出的m的值范围求并集而不是交集当m0时，t恒成立，所以1，解得m-2综上：存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立，m的取值范围是m|m2或m-2(注意对求出的m的取值范围求并集)方法2：方程f(x)=变形为x2-a
7、x-2=0，|x1-x2|=,又-1a1，所以|x1-x2|=的最大值为3，m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立等价于m2+tm+13在t-1，1恒成立，令g(t)=tm+m2-2，有g(-1)=m2+m-20，g(1)=m2-m-20，解得m|m2或m-2(注意对求出的m的取值范围求交集)【特别提醒】讨论参数a的范围时，对各种情况得出的参数a的范围，要分清是“或”还是“且”的关系，是“或”只能求并集，是“且”则求交集.【变式探究】1 设x表示不超过x的最大整数，则不等式x2-5x+60的解集为 ( ) A(2，3) B2，3C2，4 D2，4 答案：C 解析：由x2-5x
8、+60,解得2x 3,由x的定义知2x4所选C.2 已知不等式|x-m|1成立的充分非必要条件是，则实数m的取值范围是 ( ) A. B.C. D. 答案：B（2）B=（2a,a2+1）,当a1时，则超过2个元素，注意区间端点2(2012模拟题精选)设函数f(x)= -(xR)，区间M=a,b(a0f(x)=-1+,f(x)在(0，+)上为减函数，即y=f(x)在a，b上为减函数，y=f(x)的值域为 ,NM=N，MNa，且b，故有无数组解【错解分析】 错误地理解了M=N,只是MN,忽视了M=N，包含MN和NM两层含义 对症下药f(x)=，y=f(x)在a，b上为减函数 y=f(x)的值域为N
9、=y|y=f(x)，N表示f(x)的值域-bM=N，,而已知ab，满足题意的a、b不存在，故选A. 3(2012模拟题精选)记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=1g(x-a-1)(2a-x)(a1)的定义域为B.(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围【错误答案】 (1)由2-0，得x-1或x1A=x|x0，得(x-a-1)(x-2a)0a2a，B=(2a，a+1)BA 2a1或a+1-1 a或a-2又a1a-2或a0且2 设集合P=3，4，5，Q=4，5，6，7定义PQ=(a，b)|ap，bQ，则PQ中元素的个数为 ( )A3 B4 C7 D12 答案：D3 已知关于x的不等式0的解
10、集为M. (1)a=4时，求集合M；答案：(1)当a=4时，原不等式可化为，即(2)若3M且5M，求实数a的取值范围答案：由3 由由、得易错点4 简易逻辑 1(2012模拟题精选)对任意实数a、b、c，给出下列命题：“a=b”是“ac=bc”的充要条件；“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“a3”的必要条件其中真命题的个数是 ( )A1 B2 C3 D4【错误答案】 D【错解分析】 忽视中c=0的情况，中a，b小于0的情况【正确解答】 B 3(2012模拟题精选)设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，则
11、它的逆否命题是( )A.已知a，b，c，d是实数，若a+cb+d，则ab且cdB.已知a，b，c，d是实数，若a+cb+d，则ab或cdC.若a+cb+d，则a，b，c，d不是实数，且ab，cdD.以上全不对【错误答案】 A【错解分析】 没有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”. 【正确解答】 由函数y=cx在R上单调递减，得0c1的解集为R，所以2c1，得c 如果P真Q假，则0c；如果Q真P假，则c1所以c的取值范围是(0, )1,+【特别提醒】1在判断一个结论是否正确时，若正面不好判断，可以先假设它不成立，再推出矛盾，这就是正难则反2求解范围的题目，要正确使用逻辑连结词，“且”对
12、应的是集合的交集，“或”对应的是集合的并集【变式探究】 1 已知条件P：|x+1|2，条件q：5x-6x2，则p是q的 ( )A.充要条件 B充分但不必要条件C.必要但不充分条件 D.既非充分也非必要条件 答案：解析：p:x1,q:2x3,则q是p的充分但不必要条件，故p是q的充分但不必要条件。2 已知命题p：函数log05(x2+2x+a)的值域为R，命题q：函数y=-(5-2a)x是减函数若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是( ) Aa1 Ba2C1a1a2.若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1a2,故选.3 如果命题P： ，命题Q： ,那么下列结论不正
13、确的是 ( )A.“P或Q”为真 B“P且Q”为假C“非P”为假 D“非Q”为假 答案：B4 已知在x的不等式0x2-46x-13a的解集中，有且只有两个整数，求实数a的取值范围 假命题a的取值范围为易错点5 充要条件1(2012模拟题精选)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要条件 B充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【错误答案】 A【错解分析】 当两直线垂直时，A1A2+B1B2=0，m2-4+3m(m+2)=0，即m=或m=-2；故不是充分必要条件【正确解答】 B 当m=时两直线垂直两
14、直线垂直时m=或m=-2，故选B 2(2012模拟题精选)设定义域为R的函数f(x)=，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( ) Ab0 Bb0且c0 Cb0且c=0 Db0且c=0【错误答案】 B =b2-4ac当c0故f(x)有两个不同实根，x有7个既不充分也不必要条件，所以选D【错解分析】 “或”与“且”理解错误，逻辑中的“或”与生活中的“或”有区别，aM或aN包括三种：aM但aN；aN但a M；aM且aN.所以a(MN)可以推得aM或aN.【正确解答】 a(MN)的意思是aM且aN，而aM或aN包括三种：aM但aN；aN但aM；aM且aN，所以a
15、M或aN不能推出a(MN)；a(MN)可以推得aM或aN.所以选B 4(2012模拟题精选)设命题p：关于x的不等式a1x2+b1x+c10与a2x2+b2x+c20的解集相同；命题q：，则命题p是命题g的 ( )A.充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【错误答案】 因为，所以不等式a1x2+b1x+c10与a2x2+b2x+c20是等价的不等式，解集相同，所以q能推出p而不等式a1x2+b1x+c10与a2x2+ b2x+c20的解集相同不能得出，所以选B题的真假. (2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“
16、必须并且只需”，“，反之也真”等 (3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质 (4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条依.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性) 【变式探究】 1 设ab、是非零向量，则使ab=|a|b|成立的一个必要非充分条件是 ( )Aa=b BabCab Da=b(0)答案：解析：由ab=|a| |b|可得ab;但ab, ab=|a| |b|, 故使ab=|a| |b| 成立的一个必
17、要充分条件是：ab.故选.2若条件甲：平面内任一直线平行于平面，条件乙：平面平面，则条件甲是条件乙的 ( )A充分不必要条件B必要不充分条件C. 充要条件D既不充分又不必要条件 4 命题A：|x-1|3，命题B：(x+2)(x+a)0，若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A(4，+) B4，+C(-，-4) D(-，-4)答案：【知识导学】难点1 集合的运算 1设I是全集，非空集合P、Q满足PQI，若含P、Q的一个运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_；如果推广到三个，即PQRI，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_.(只要求写出一个表达式)【解析】 画出集合
18、P、Q、I的文氏图就可以看出三个集合之间的关系，从它们的关系中构造集合表达式，使之运算结果为空集【答案】 画出集合P、Q、I的文氏图，可得满足PQI，含P、Q的一个运算表达式，使运算结果为空集的表达式可以是P(CIQ)；同理满足PQRI，使运算结果为空集的表达式可以是(PQ)(CIR)，或(PQ) (CIR)答案不唯一 2设A=(x，y)|y2-x-1=0，B=(x，y)|4x2+2x-2y+5=0，C=(x，y)|y=kx+b，是否存在k、bN，使得(AB)C=，证明此结论4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0BC=，2(1-k)2-4(5-2b)0k2-2k+8b-190，从而8b20，
19、即b25 由及bN，得b=2代入由10和2|2x|；;2x2+mx-10 若同时满足、的x也满足，求m的取值范围； 若满足的x至少满足、中的一个，求m的取值范围 【解析】 (1)若同时满足、的x也满足，即求出不等式、的交集是的解集的子集；第(2)问，若满足的x至少满足、中的一个，即满足的x满足、的并集=x|x-1或x4，补集为(-1，4)，即方程2x2+mx-10的两根在(-1，4)内，由根的分布可得-m0)解集的子集 又m0 不等式*的解集为1-mx1+m m9，实数m的取值范围是9，+难点5 充要条件的应用1设符合命题p的所有元素组成集合A，符合命题q的所有元素组成集合B，已知q的充分不必
20、要条件是p，则集合A、B的关系是 ( )AAB BA BCB A DA=B所以03，B=x|x2+x-60，则AB= ( )A(-3，-2)(1，+) B(-3，-2)1，2C-3，-2(1，2) D(-，-3)(1，2) 答案：解析：由|2x+1|3,得x1或xb0，全集U=R，集合M=x|bx，N=x|xa，P=x|bx，则P，M，N满足的关系是 ( )AP=MN BP=MNC.P=M(CUN) DP=(CUM)N. 答案：C 解析：取a=4,b=2,画出数轴可判断选C.5 命题P：如果x2+2x+1-a20，那么-1+ax-1；命题q：a1，那么q是p的 ( )A.必要不充分条件 B.充
21、分不必要条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由命题p真，可得a0, 而由a0q:a1是|a+b|1的充分而不必要条件命题q：函数y=的定义域是(-，-1)3，+，则 ( )A.“p或q”为假 B“p且q”为真C.p真q假 D.p假q真 答案：D 答案：240解析：设单元素集合之和为T1=1+2+3+4+5=15，二元集合之和为T2=4T1，同理T3=6T1，T4=4T1，T5=T1，S1+S2+S5=T1+T2+T3+T4+T5=240.10 二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则ax2+bx+c0的解
22、集是_ 答案：(-，-2)解析：取三点代入函数中解出不等式即可。11 每天早晨，李强要做完以下几件事，再去公司上班：起床穿衣8分钟；洗脸刷牙5分钟；煮早饭t分钟；吃早饭7分钟；听广播15分钟；整理房间6分钟若李强做完这些事最快需要30分钟，那么煮早饭的时间t最多为_分钟 答案：15解析：起床穿衣8分钟；煮早饭t分钟；吃早饭7分钟；这三项不能同时做.洗脸刷牙5分钟；与听广播15分钟；整理房间6分钟；都可同时做.若李强做完这此事最快需要30分钟，那么煮早饭的时间t最多为30分钟.12 设全集U=R，()解关于x的不等式|x-1|+a-10(aR)；()记A为(1)中不等式的解集，集合B=x|sin(x-)+cos(x-)=0若(CUA)B恰有3个元素，求a的取值范围 明理由 答案：解析：E，F=综上所述，、3且-214 已知椭圆方程+=1(ab0)，A(m，0)为椭圆外一定点，过A作直线l交椭圆于P、Q两点，且有，Q关于x轴的对称点为B，x轴上一点C，当l变化时，求点C在BP上的充要条件解析：连结AB，因为B、Q关于x轴对称，所以C(xo,O),则B(x2,-y2),可得y1=又将(1)代入(2)中得由于上述解题过程可逆，所以C在BP上的充要条件是C的坐标为
