1、二次函数与幂函数 一、选择题1若f (x)是幂函数，且满足3，则f 等于() A3B3CDC设f (x)x，由3得3，即23，f ，故选C.2函数yx的图像是()ABCDB函数yx过点(1，1)，排除A、D.当x(0，1)时，yx的图像在直线yx上方，故选B.3若幂函数f (x)(m24m4)x在(0，)上为增函数，则m的值为()A1或3B1C3D2B由题意知，解得m1，故选B.4(2021西安模拟)已知函数f (x)x3，若af (0.60.6)，bf (0.60.4)，cf (0.40.6)，则a，b，c的大小关系是()AacbBbacCbcaDcabB函数f (x)x3在(0，)上是减函
2、数，且0.40.60.60.60.60.4.f (0.60.4)f (0.60.6)f (0.40.6)，即bac，故选B.5已知a，b，cR，函数f (x)ax2bxc，若f (0)f (4)f (1)，则()Aa0，4ab0Ba0，4ab0Ca0，2ab0Da0，2ab0A由f (0)f (4)，得f (x)ax2bxc图像的对称轴为x2，4ab0，又f (0)f (1)，f (4)f (1)，f (x)先减后增，于是a0，故选A.6二次函数f (x)的二次项系数为正数，且对任意的xR都有f (x)f (4x)成立，若f (12x2)f (12xx2)，则实数x的取值范围是()A(2，)B
3、(，2)(0，2)C(2，0)D(，2)(0，)C由题意知，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线x2，图像在对称轴左侧对应的函数为减函数又12x22，12xx22(x1)22，所以由f (12x2)f (12xx2)，得12x212xx2，解得2x0.故选C.二、填空题7已知二次函数f (x)的图像经过点(2，6)，方程f (x)0的解集是1，4，则f (x)的解析式为_.f (x)x23x4因为f (x)是二次函数，且方程f (x)0的解集是1，4，即f (x)的图像过点(1，0)和(4，0)，所以可设f (x)a(x1)(x4)(a0)又因为f (x)的图像经过点(2，6)，所以(21)(
4、24)a6，即a1.故f (x)(x1)(x4)x23x4.8已知函数f (x)(m2)x2(m8)x(mR)是奇函数，若对于任意的xR，关于x的不等式f (x21)f (a)恒成立，则实数a的取值范围是_.(，1)由f (x)f (x)得(m2)x2(m8)x(m2)x2(m8)x，则m20，即m2，f (x)6x，f (x)是R上的奇函数，且为减函数，由f (x21)f (a)恒成立得x21a恒成立又当xR时，x211，所以a1.9若关于x的方程x2xm0在1，1上有解，则实数m的取值范围是_.法一：由x2xm0得mx2x，设f (x)x2x，则f (x)，当x1，1时，f (x)min，
5、f (x)maxf (1)2，即f (x)2，m2.法二：设f (x)x2xm，则f (x)m，因为方程f (x)0在1，1上有解，则解得m2.三、解答题10已知函数f (x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2，3时，求函数f (x)的值域；(2)若函数f (x)在1，3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f (x)x23x3，x2，3，对称轴为x2，3，f (x)minf 3，f (x)maxf (3)15，函数f (x)的值域为.(2)函数f (x)图像的对称轴为x.当1，即a时，f (x)maxf (3)6a3，6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f (x)maxf (
6、1)2a1，2a11，即a1，满足题意综上可知，a或1.11已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0)f (2)3.(1)求f (x)的解析式；(2)若f (x)在区间2a，a1上不单调，求实数a的取值范围；(3)在1，1上，yf (x)的图像恒在y2x2m1的图像上方，试确定实数m的取值范围解(1)f (x)是二次函数，且f (0)f (2)，函数f (x)图像的对称轴为直线x1.又f (x)的最小值为1，故可设f (x)A(x1)21(A0)f (0)3，A13，解得A2，f (x)2(x1)212x24x3.(2)要使f (x)在区间2a，a1上不单调，则2a1a1，解得0a.(3
7、)由已知得2x24x32x2m1在1，1上恒成立，化简得mx23x1.设g(x)x23x1，则g(x)在区间1，1上单调递减，g(x)在区间1，1上的最小值为g(1)1，m1.1若函数f (x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关B因为函数f (x)x2axb在区间0，1上的最大值、最小值在f (0)b，f (1)1ab，f b中取，所以Mm与a有关，但与b无关，故选B.2已知函数f (x)ax22x2，若对一切x，f (x)0都成立，则实数a的取值范围为()A.BC4，)D(4，)
8、B由题意得，对一切x，f (x)0都成立，即a2对一切x都成立又2，则实数a的取值范围为.3已知值域为1，)的二次函数f (x)满足f (1x)f (1x)，且方程f (x)0的两个实根x1，x2满足|x1x2|2.(1)求f (x)的表达式；(2)函数g(x)f (x)kx在区间1，2上的最大值为f (2)，最小值f (1)，求实数k的取值范围解(1)由f (1x)f (1x)可得f (x)的图像关于直线x1对称，设f (x)a(x1)2hax22axah(a0)，由函数f (x)的值域为1，)，可得h1，根据根与系数的关系可得x1x22，x1x21，所以|x1x2|2，解得a1，所以f (x)x22x.(2)由题意得函数g(x)在区间1，2上单调递增，又g(x)f (x)kxx2(k2)x.所以g(x)图像的对称轴为x，则1，解得k0，故实数k的取值范围为(，0
