1、2.1向量的概念及表示学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念(重点)2理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义(重点、难点)3理解向量的几何表示(重点)通过学习本节内容提升学生的数学抽象和直观想象核心素养.一、向量的定义及表示定义既有大小又有方向的量称为向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为；(2)字母表示：用小写字母a，b，c表示模向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|思考1：在日常生活中有很多量，如面积、质量、
2、速度、位移等，这些量有什么区别？提示面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考2：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？提示数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小二、向量的有关概念及其表示名称定义表示方法零向量长度为0的向量记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(或共线向量)方向相同或相反的非零向量a与b平行(或共线)，记作ab相等向量长度相等且方向相同的向量a与b相等，记作ab相反向量长度相等且方向相反的向量a的相反向量记作a思考3：已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？提示因为向量和向量方向不同，所以二者不相等又表示它们
3、的有向线段在同一直线上，所以两向量共线思考4：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？提示不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合1思考辨析(1)有向线段就是向量()(2)两个向量的模能比较大小()(3)有向线段可以用来表示向量()(4)若ab，bc，则ac.()(5)若ab，则a与b的方向一定相同或相反()(6)若非零向量，那么ABCD.()(7)单位向量的模都相等()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程
4、；密度；功其中不是向量的有_(填序号)一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由(1)任何两个单位向量都是平行向量；(2)零向量是没有方向的；(3)在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量与是平行向量；(4)对于向量a、b、c，若ab，且bc，则ac；(5)若非零向量与是平行向量，则直线AB与直线CD平行；(6)非零向量与是模相等的平行向量思路点拨：解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量
5、等概念入手，逐一判断真假解(1)错误因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；(2)错误任何向量都有方向，零向量的方向是任意的； (3)正确由三角形中位线性质知，DEBC，向量与方向相反，是平行向量；(4)错误b为零向量时，有ab且bc，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；(5)错误A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；(6)正确非零向量与的模相等，方向相反，二者是平行向量1在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)2涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量3对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理
6、解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量1判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，若a与b的方向相同，则ab；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；解(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系(3)正确因为|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab.(4)不正确依据规定：0与任一向量平
7、行向量的表示【例2】一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量，；(2)求|.思路点拨：解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解解(1)如图：(2) 由题意，易知与方向相反，故与共线，即ABCD.又|，在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，|200(千米)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量.2(1)
8、如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且|，画出所有的向量.(2)已知飞机从A地按北偏东30的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地作出向量，；问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？解(1)画出所有的向量，如图所示(2)由题意，作出向量，如图所示，依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC2 000 km.又因为ACD45，CD1 000，所以ACD为等腰直角三角形，即AD1 000 km，CAD45.所以D地在A地的东南方向，距A地1 000
9、 km.共线向量探究问题1两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？提示：不一定平行2若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？提示：向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)3向量平行具备传递性吗？举例说明提示：向量的平行不具备传递性，即若ab，bc，则未必有ac，这是因为，当b0时，a，c可以是任意向量，但若b0，必有ab，bcac.【例3】如图，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为2的向量个数有_个思路点拨：结合
10、向量相等、平行的条件求解8如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，共8个1(变条件)本例中，与向量同向且长度为2的向量有多少个？解与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个2(变条件)本例中，如图，与向量相等的向量有多少个？解题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量方向相同的向量与其相等，共有8个1寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线2寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量教师独具1本节课的重点是向量的概念、
11、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用2要重点掌握向量的三个问题(1)向量有关概念的辨析(2)向量的表示(3)相等向量与共线向量的应用3本节课要注意两个区别(1)向量与数量数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向数量可以比较大小，向量不能比较大小(2)向量与有向线段区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段1下列说法不正确的是()A零向量的长度为零B零向量与任一向量都是共线向量C零向量没有方向D零向量的
12、方向是任意的C零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错2在RtABC中，BAC90，则|1，|2，则|_.因为|2|2|25，所以|.3如图所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c.在以A，B，C，D，E，F，O为起点或终点的向量中：(1)模与a的模相等的向量有_个(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有_(3)与a共线的向量有_(4)请一一列出与a，b，c相等的向量_(1)23(2)，(3)，(4)与a相等的有，；与b相等的有，；与c相等的有，(1)满足条件的向量有23个(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有，.(3)与a共线的向量有，.(4)与a相等的有，；与
13、b相等的有，；与c相等的有，.4在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使|4，点A在点O北偏东45；(2)，使|4，点B在点A正东；(3)，使|6，点C在点B北偏东30.解(1)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示
