1、专题强化训练(十七)数 列12019唐山摸底已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn3an12.(1)求 an；(2)若 bn(n1)an，且数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn.解：(1)由已知可得，2Sn3an1，所以 2Sn13an11(n2)，得，2(SnSn1)3an3an1，化简得 an3an1(n2)，在中，令 n1 可得，a11，所以数列an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，从而有 an3n1.(2)bn(n1)3n1，Tn030131232(n1)3n1，则 3Tn031132233(n1)3n.得，2Tn3132333n1(n1)3n33n13(n1)3n32n3
2、n32.所以 Tn2n33n34.22019安徽示范高中设数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2an，n1,2,3，.数列bn满足 b11，且 bn1bnan.(1)求数列bn的通项公式；(2)设 cnn(3bn)，数列cn的前 n 项和为 Tn，求 Tn.解：(1)n1 时，a1S1a1a12，a11.Sn2an，即 anSn2，an1Sn12.两式相减得 an1anSn1Sn0，即 an1anan10，故有 2an1an，由 Sn2an，知 an0，an1an 12(nN*)an是首项为 1，公比为12的等比数列，其通项公式为 an12n1.bn1bnan(n1,2,3，)，bn1
3、bn12n1，b2b11，b3b212，b4b3122，bnbn112n2(n2,3，)将这 n1 个等式相加得，bnb111212212n2112n1112212n2.又 b11，bn312n2(n2,3，)，当 n1 时也满足上式，bn312n2(nN*)(2)cnn(3bn)2n12n1，Tn212021213122(n1)12n2n12n112Tn212121223123(n1)12n1n12n得，12Tn212012112212n12n12n(nN*)，Tn4112n1124n12n8(84n)12n(n1,2,3，)32019洛阳统考已知等差数列an的公差 d0，若 a3a922，
4、且 a5，a8，a13 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnan12anan1，求数列bn的前 n 项和 Sn.解：(1)设数列an的首项为 a1，依题意，2a110d22a17d2a14da112d，解得 a11，d2，数列an的通项公式为 an2n1.(2)bnan12anan1 4n22n12n1 4n24n21112n12n111212n112n1，Sn112113 1121315 11212n112n1n12112n1 2n22n2n1.42019石家庄质检已知an是首项为 1 的等比数列，各项均为正数，且 a2a312.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn1n
5、2log3an1，求数列bn的前 n 项和 Sn.解：(1)设an的公比为 q，由 a2a312 及 a11，得 qq212，解得 q3 或 q4.因为an的各项均为正数，所以 q0，所以 q3，所以 an3n1.(2)bn1n2log3an11nn2121n 1n2，所以 Sn121131214 1n1 1n11n 1n2342n32n1n2.52019济南质量评估已知数列an是递增的等差数列，满足a2a3a415，a2 是 a1 和 a5 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和 Sn.解：(1)设数列an的公差为 d，由 a2a3a415
6、 得 a35，由a2 是 a1 和 a5 的等比中项，得 a22a1a5，所以(5d)2(52d)(52d)，解得 d0 或 d2，因为数列an为递增数列，所以 d2.又 a35，所以 a11，所以 an2n1.(2)bn1anan112n12n11212n112n1，所以 Sn12113131512n112n112112n1 n2n1.62019郑州质量预测一已知数列an为等比数列，首项 a14，数列bn满足 bnlog2an，且 b1b2b312.(1)求数列an的通项公式；(2)令 cn4bnbn1an，求数列cn的前 n 项和 Sn.解：(1)由 bnlog2an 和 b1b2b312
7、 得log2(a1a2a3)12，a1a2a3212.设等比数列an的公比为 q，a14，a1a2a344q4q226q3212，计算得 q4.an44n14n.(2)由(1)得 bnlog24n2n，cn42n2n14n1nn14n1n 1n14n.设数列1nn1的前 n 项和为 An，则An11212131n 1n1 nn1，设数列4n的前 n 项和为 Bn，则Bn44n414 43(4n1)，Sn nn143(4n1)72019长沙四校一模已知 Sn 是等比数列an的前 n 项和，a312，S332.(1)求数列an的公比；(2)对于数列Sn中任意连续的三项，按照某种顺序排列，是否成等差
8、数列？解：(1)设等比数列an的公比为 q(q0)，由 a312，得 a1a3q2 12q2，a2a3q 12q.由 S332，得 a1a2a332，所以 12q2 12q1232，解得 q1 或 q12.(2)当 q1 时，a112，Sn12n，Sn112(n1)，Sn212(n2)，2Sn1SnSn2，即 Sn，Sn1，Sn2 成等差数列，所以当 q1 时，数列Sn中任意连续的三项 Sn，Sn1，Sn2 成等差数列当 q12时，a12，Sn2112n11243112n，Sn143112n1 4311212n，Sn243112n2 4311412n，SnSn143112n 4311212n
9、832312n，2Sn28311412n 832312n，所以 2Sn2SnSn1，即 Sn，Sn2，Sn1 成等差数列，所以当 q12时，数列Sn中任意连续的三项 Sn，Sn1，Sn2，按照顺序 Sn，Sn2，Sn1 排列，成等差数列82019河北九校联考已知an是各项都为正数的数列，其前 n项和为 Sn，且 Sn 为 an 与1an的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn1nan，求数列bn的前 n 项和 Tn.解：(1)由题意知，2Snan 1an，即 2Snana2n1，当 n1 时，由式可得 S11；当 n2 时，anSnSn1，代入式，得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得 S2nS2n11.所以S2n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，S2n1n1n.因为an的各项都为正数，所以 Sn n，所以 anSnSn1 n n1(n2)，又 a1S11，所以 an n n1.(2)bn1nan1nn n1(1)n(n n1)，当 n 为奇数时，Tn1(21)(3 2)(n1n2)(nn1)n；当 n 为偶数时，Tn1(21)(3 2)(n1n2)(nn1)n.所以bn的前 n 项和 Tn(1)n n.
