1、专题检测（十六） 圆锥曲线的定义、方程与性质A组“633”考点落实练一、选择题1(2019济南模拟)已知双曲线1的一个焦点F的坐标为(5，0)，则该双曲线的渐近线方程为()AyxB.yxCyxD.yx解析：选A易知c5，故m16，故双曲线方程为1，将1换为0得0，即渐近线方程为yx.故选A.2已知抛物线x24y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：xy40的距离为d2，则d1d2的最小值是()A.2 B.1C.2D.1解析：选D抛物线x24y的焦点F(0，1)，由抛物线的定义可得d1|PF|1，则d1d2|PF|d21，而|PF|d2的最小值等于焦点F到直线l的距离，即(|PF|d2)min
2、，所以d1d2的最小值是1.故选D.3(2019全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO的面积为()A. B.C.2D.3解析：选A不妨设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h，所以SPFO.故选A.4(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2D.解析：选A设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以
3、OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.故选A.5(2019昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则()A. B.C.D.3解析：选A如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|，|AF2|.所以.故选A.6(2019广州调研)已知椭圆：1(ab0)的长轴长是短轴长的2倍，过右
4、焦点F且斜率为k(k0)的直线与相交于A，B两点若3，则k()A.1 B.2C.D.解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3，所以y13y2.因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以a2b，设bt，则a2t，故ct，所以1.设直线AB的方程为xsyt，代入上述椭圆方程，得(s24)y22styt20，所以y1y2，y1y2，即2y2，3y，得s2，k.故选D.二、填空题7已知P(1，)是双曲线C：1(a0，b0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是_解析：双曲线C的一条渐近线的方程为yx，P(1，)是双曲线C渐近线上的点，则，所以离心率e 2.答案：28若F1，F2是椭圆1的两个焦点，
5、A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为_解析：由题意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|284|AF1|，(6|AF1|)2|AF1|284|AF1|，解得|AF1|.AF1F2的面积S2.答案：9(2019洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且3，抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1l于点A1，若四边形AA1EF的面积为6，则p_解析：不妨设点A在第一象限，如图，作BB1l于点B1，设直线AB与l的交点为D，由抛物线的定
6、义及性质可知|AA1|AF|，|BB1|BF|，|EF|p.设|BD|m，|BF|n，则，即，m2n.又，n，|DF|mn2p，ADA130.又|AA1|3n2p，|EF|p，|A1D|2p，|ED|p，|A1E|p，直角梯形AA1EF的面积为(2pp)p6，解得p2.答案：2三、解答题10(2019天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，
7、2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.11已知抛物线C：x22py(p0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为
8、AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切解：(1)ABl，|AB|2p.又|FD|p，SABDp21.p1，故抛物线C的方程为x22y.(2)证明：设直线AB的方程为ykx，由消去y得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，即y，y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切12(2019江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆
9、F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标解：(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1F22，c1.又因为DF1，AF2x轴，所以DF2 .因此2aDF1DF24，从而a2.由b2a2c2，得b23.因此椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)知，椭圆C：1，a2.因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x1代入圆F2的方程(x1)2y216，解得y4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4)又F1(1，0)，所以直线AF1：y2x2.由得5x26x110，解得x1或x.将x代入y2x2，解得y.因此B.又
10、F2(1，0)，所以直线BF2：y(x1)由得7x26x130，解得x1或x.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x1.将x1代入y(x1)，得y.因此E.由(1)知，椭圆C：1.如图，连接EF1.因为BF22a，EF1EF22a，所以EF1EB，从而BF1EB.因为F2AF2B，所以AB.所以ABF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴因为F1(1，0)，由得y.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y.因此E.B组大题专攻强化练1(2019武汉市调研测试)已知椭圆：1(ab0)经过点M(2，1)，且右焦点F(，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)过N(1，0)且斜率存在的直
11、线AB交椭圆于A，B两点，记t，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1t2的值解：(1)由椭圆1的右焦点为(，0)，知a2b23，即b2a23，则1，a23.又椭圆过点M(2，1)，1，又a23，a26.椭圆的标准方程为1.(2)设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22k2(x1)26，即(12k2)x24k2x2k260，点N(1，0)在椭圆内部，0，则t(x12)(x22)(y11) (y21)x1x22(x1x2)4(kx1k1) (kx2k1)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5, 将代入得，t(1k2)(2k2k)k22k5
12、，t，(152t)k22k1t0，kR，则1224(152t)(1t)0，(2t15)(t1)10，即2t213t160，由题意知t1，t2是2t213t160的两根，t1t2.2(2019福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x1)2y21外的点P在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离记P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：AMB的面积是AMN的面积的四倍解：法一：(1)设P(x，y)，依题意x0，F(1，0)因为P在圆F外，所以P到圆F上的点的最小距离
13、为|PF|1.依题意得|PF|1x，即1x，化简得E的方程为y24x(x0)(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，不符合题意，舍去当直线AB的斜率存在时，如图，在平面直角坐标系中，设N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D.设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，由得k2x2(2k24)xk20.因为(2k24)24k416k2160，所以x1x2，所以y1y2k(x11)k(x21)，故D.由抛物线的定义知|AB|x1x22.设M(xM，yM)，依题意得yM，所以|MD|xM.又|MD|，所以xM2，解得xM1，所以M.因为N在抛物线上，所以x0，即N，所以SAMB|MD|
14、y1y2|y1y2|，SAMN|MN|y1yD|MN|y1y2|y1y2|.故SAMB4SAMN.法二：(1)设P(x，y)，依题意x0.因为P在圆F外，所以P到圆F上的点的最小距离为|PF|1.依题意得，点P到F(1，0)的距离|PF|等于P到直线x1的距离所以P在以F(1，0)为焦点，x1为准线的抛物线上，所以E的方程为y24x(x0)(2)证明：如图，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为直线AB过F(1，0)，依题意可设其方程为xty1(t0)由得y24ty40.因为16t2160，所以y1y24t.所以x1x2ty11ty214t22.因为D是AB的中点，所以D(2t21，2t)由抛物线的定义得|AB|x11x214t24.设与圆D相切于M，且平行于y轴的直线为l：xm，因为DM与抛物线相交于N，所以m0，且DMl，又|DM|AB|，所以2t21m(4t24)，解得m1.设N(x0，y0)，则y02t，所以(2t)24x0，所以x0t2，因为t2，所以N为DM的中点，所以SAMD2SAMN.又D为AB的中点，所以SAMB2SAMD，所以SAMB4SAMN.
