1、天津一中 2020-2021-1 高二年级数学学科期中模块质量调查试卷本试卷分为第 I 卷(试题)、第 II 卷(答题纸)两部分,共 100 分,考试用时 90 分钟。考生 务必将答案涂写在答题纸的规定位置上,答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利! 一选择题:(每小题 3 分,共 30 分)1直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0 平行,则 a 等于A-1B-1 或 2C2D12.过点 P(1,2)引直线使两点 A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等,则直线方程是A4x+y-6=0Bx+4y-6=0C2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0D4x+y-
2、6=0 或 3x+2y-7=03过点 A(1,4)且横纵截距的绝对值相等的直线共有A1 条B2 条C3 条D4 条4圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是A36B18C 5 2 D 6 25若圆 x2+y2+ax-by=0 的圆心在第二象限,则直线 x+ay-b=0 一定不经过A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6已知圆 C:x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半 径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是A 32B 43C 53D 547过椭圆 9x2+25y2=225 的右
3、焦点且倾斜角为 45o 的弦 AB 的长为90A5B6C 17D78已知椭圆 x2+4y2=12 的左右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,线段 PF1 的中点在 y 轴 上,则|PF1|是|PF2|的A3 倍B4 倍C5 倍D7 倍9若椭圆 2a2x2-ay2=2 的一个焦点是(-2,0),则 a=A 1- 34B 1 34C 1- 54D 1 5410已知 A、B 为椭圆左右顶点,F 为左焦点,点 P 为椭圆上一点,且 PFx 轴,过点 A 的直线与线段 PF 交于 M 点,与 y 轴交于 E 点,若直线 BM 经过 OE 中点,则椭圆的离心率为A 12B 32C 13D 63二填空
4、题:(每小题 4 分,共 24 分)11已知点 A(1,2)、B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是 .12如果 x2+y2-2x+y+k=0 是圆的方程,则实数 k 的取值范围是 .13已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所截得的弦长为2 2 ,则圆 C 的标准方程为 .14过直线 x+y- 2 2 =0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60o,则P 的坐标是_.15已知椭圆的两个焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),P 点在椭圆上,F1PF2 面积最大值为 12,则椭圆的方程为 .2216椭圆 x
5、+ y = 1 的左右焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 Rt F1PF2,则点 p 到 x 轴的25 16距离为 .三解答题:(共 4 题,46 分)17在三棱锥 P-ABC 中,APB=90o,PAB=60o,AB=BC=CA,平面 PAB平面 ABC. (1)求直线 PC 与平面 ABC 所成角的正弦值;(2)求二面角 B-AP-C 的余弦值.18已知直线 x+y-1=0 与椭圆 C:b2x2+a2y2=a2b2(ab0)相交于 A,B 两点,且线段 AB 的 中点在直线 l:x-2y=0 上.(1)求此椭圆 C 的离心率;(2)若椭圆 C 的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x
6、2+y2=4 上,求此椭圆 C 的方程.19在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;(2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.20已知直线 l:x=my+1 过椭圆 C:b2x2+a2y2=a2b2(ab0)的右焦点 F,且交椭圆 C 于A、B 两点,点 A、B 在直线 G:x=a2 上的射影依次为点 D、E.(1)若 1 + 1= 3e,其中 O 为原点,A2 为右顶点,e 为离心率,
7、求椭圆 C 的方程;OF OA2FA2(2)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE,BD 是否相交于一定点 N？若交于定点 N,请求 出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由.一选择题参考答案1A2D3C4D5C6B7C8D9C10C二填空题114x-2y-5=0512 k 413(x-3)2+y2=414（ 2 ， 2 ）x215y2+= 116259165三解答题17解：（1）分别取 AB、AC 中点 D、E过P作PO AB于O PO 平面ABC平面PAB 平面ABC平面PAB 平面ABC = ABPO 平面PAB在 RTPAB 中PAB=60，APB=POA=90O 为 A
8、D 中点，OEAB，POAB，POOE以 O 为原点分别以 OB，OE，OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系AB=4O（0，0，0） A（-1，0，0） B（3，0，0） C（1， 2 3 ，0） P（0，0， 3 ）设直线 PC 方向向量 PC = (1, 2 3，- 3)平面 ABC 的法向量 m = (0, 0，1)| cos |=| PC m | = 3| PC | | m | 43故直线 PC 与平面 ABC 所成角的正弦值为 4 。（2）设平面 ABP 的法向量 p = (0, 1，0)平面 APC 的法向量 q = (x, y，z)AP = (1, 0， 3
9、), AC = (2, 2 3，0), x +3z = 0令x = - 3 AP q = 0 y = 1 AC q = 0 x +3 y = 0 z = 1q = (-3, 1，1)| cos |=| p q | =5| p | | q |5二面角B - AP - C为锐二面角故二面角B - AP - C的余弦值 5518解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2）则有：AB 中点 G（x0，y0）b2 x2 + a2 y2 =a2b2 11两式相减得b2 x2 + a2 y2 =a2b2 22b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=022b + a k AB
10、kOG =0a2 = 2b2即 1kAB = -1, kOG = 2b2 = a2 - c2a2 = 2c2 e = 22（2）设椭圆右焦点 F（b，0）等于直线 x-2y=0对称点 F（x，y）则有 y 1 = -1 x - b 2 y = -2 x + 2b x + b - 2 y = 0 x + b - 2 y = 0 22 x = 3 b 5代入x2 + y 2 = 4中 y = 4 b 59 b2 + 16 b2 = 4 b2 = 4,a2 = 825252椭圆方程 xy 2+ = 18419解： y = 2x - 4（1） y = x -1得圆心C (3, 2), r = 1设过
11、A 点切线方程 y=kx+3，由相切有 | 3k - 2 + 3 | = 1, | 3k + 1 |=k 2 + 1k 2 + 1 平方，得4k 2 + 3k = 0k = 0或k = - 34故切线方程为y = 3 或y = - 3 x + 34（2）设圆心 C（a，2a-4）r=1(x-a)2+(y-2a+4)2=1设 M（x，y）则由|MA|=2|MO|即 x2+(y-3)2=4x2+4y2 即 3x2+3y2+6y-9=0 x2+y2+2y-3=0 x2 2 + ( y + 1) = 4故两圆C = (0, -1)C = (a, 2a - 4)r = 2r = 1( x - a)2 +
12、 ( y - 2a + 4)2 = 1点 M 在此两圆上入两圆相交1 a2 + (2a - 3)2 35a2 -12a + 8 05a2 -12a 0 x R0 a 12故a 0, 12 5520解：1 1 3e1 1 c 3（1）由+ = 即| OF | | OA2 | | FA2 |+ = c a a a - c而c = 1故1 + 1 = 1 3a2 = 4, b2 = 3aa a -12椭圆C方程 xy2+= 143（2）当 m=0 时，直线 l 方程为 x=1)2 2 2 2)A(1, a -1B(1, 1 - a )D(a2 , a -1E(a2 , 1 - a )a a a a由
13、矩形 ABED 关于 x 轴对称a12 +故 AE 中点（ ，0）猜想所求定点为 N2设 A（x1，y1） B（x2，y2） E（a2，y2） D（a2，y1） x = my + 1+ a y = a bb2 x2 2 22 2(a2+b2m2)y2+2mb2y+b2(1-a2)=0由0即 a2+b2m2-10 y + y =-2mb由k=y1=y 12a2 + b2m2AGmy1 + 1 -a2 + 12my1 -a2 -12b2 (1 - a2 )yy y y =k=2=2 1 2a2 + b2m2GEa2 -a2 + 1a2 -1k AG - kGE =y1-a2 -122y2a2 -1my1 -a2 -122a2 -1y1 - (my1 -=2a2 -12a2 -1) y2(my1 -2)2a2 -12( y1 + y2 ) - my1 y2=a2 -1= 0a2 -1(my1 -2)2kAG=kGE 即 A、G、E 三点共线同理 B、G、D 三点共线a12 +故 AE 与 BD 相交于定点 G（ ，0）2即 G 为 N 点
