1、15二项式定理15.1二项式定理1.理解二项式定理的内容及有关概念2.理解二项式定理的推导过程3掌握二项展开式的项数、系数、二项式系数、通项的特征及运用二项式定理二项式定理概念(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)称为二项式定理系数各项的系数C(r0，1，2，n)通项Canrbr是展开式中的第 r1项，可记作Tr1Canrbr二项展开式CanCan1bCanrbrCbn备注：在二项式定理中，如果令a1，bx，则得到公式(1x)n1CxCx2Cxn1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()(3)Can
2、kbk是(ab)n展开式中的第k项()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()答案：(1)(2)(3)(4)2.的二项展开式中，第4项是()ACx12BCx10CCx10DCx8答案：C3(12x)5的展开式的第三项的系数为_，第三项的二项式系数为_答案：4010求二项展开式求的展开式【解】法一：C(2x)5C(2x)4C(2x)3C(2x)2C(2x)C32x580x2.法二：(12x3)51C(2x3)C(2x3)2C(2x3)3C(2x3)4C(2x3)580x232x5.在展开二项式之前，根据二项式的结构特征进行适当的变形，可使展开多项式的过程得到简化例如求(1x
3、)5(1xx2)5的展开式，可将原式变形为(1x3)5，再展开较为简便 1.求的展开式解：法一：直接利用二项式定理展开并化简：C(2)4C(2)3C(2)2C(2)1C(2)016x232x24.法二：(2x1)4C(2x)4C(2x)3C(2x)2C(2x)1C(2x)0(16x432x324x28x1)16x232x24.二项式定理的逆用设nN*，则CC6C62C6n1_【解析】CC6C6n1(C6C62C6n)(CC6C62C6n1)(16)n1(7n1)【答案】(7n1)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数 2.化简：
4、12C4C8C(2)nC.解：原式CC(2)1C(2)2C(2)3C(2)n(12)n(1)n.求二项展开式中的特定项或其系数已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：(1)n的值(2)展开式中含x3的项.【解】(1)因为T3C()n2()24Cx，T2C()n1()2Cx，依题意得4C2C162，所以2CC81，所以n281，n9.(2)设第r1项含x3项，则Tr1C()9r()r(2)rCx，所以3，r1，所以第二项为含x3的项：T22Cx318x3.1在本例条件下，求二项展开式的常数项解：因为Tr1(2)rCx，若Tr1为常数项，则93r0，所以r3，因此常数项为第4项(2)3
5、C672.2在本例条件下，求二项展开式的所有有理项解：因为Tr1(2)rCx，若Tr1为有理项，当且仅当为整数因为0r9，rN，所以r1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们是T218x3，T4672，T6，T8，T10.(1)求二项展开式特定项的步骤(2)正确区分二项式系数与该项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关 3.的展开式中x3的系数为_(用数字作答)解析：Tr1C(x2)6rCx123r，令123r3，得r3，所以C20.答案：201二项式展开式的特点(1)项数：共有n1项(2)二项
6、式系数：依次为组合数C，C，C，C，C.(3)每一项的次数是一样的，都为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列2对通项公式的四点说明(1)通项Tk1Cankbk是(ab)n的展开式的第k1项，这里k0，1，n.(2)二项式(ab)n的第k1项Cankbk和(ba)n的展开式的第k1项Cbnkak是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的(3)注意二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负(4)通项公式是在(ab)n这个标准形式下而言的，如(ab)n的二项展开式的通项公式是Tk1(1)kCankbk(只需把b看成b代入二项式定理)，这与T
7、k1Cankbk是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的，都是C，但项的系数一个是(1)kC，一个是C，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念设(x)n的展开式中，第三项的系数为6，试求含x2的项【解】展开式的第三项为：T3Cxn2()2，由C()26，得n3或n2(舍去)，设(x)3的展开式中含x2的项为第r1项，则Tr1Cx3r()r，由3r2，得r1，所以展开式中含x2的项为：Cx2()13x2.(1)二项式展开式中第三项的二项式系数与第三项的系数不同(2)在二项式定理中，展开式的通项公式是一个核心内容，是高考命题的一个重要着眼点；由通项公式求展开式中的特定项是高考中比较固定的一种题型
8、解题中对展开式中的“项”“项的系数”“二项式系数”，指数运算法则、组合数的计算、项的符号等这些细节中的任何一个都要注意，不能出错使用二项展开式的通项公式Tr1Canrbr(r0，1，2，n)时一定要注意：a通项公式表示的是第“r1”项，而不是第“r”项；b通项公式中a和b的位置不能颠倒；c展开式中第r1项的二项式系数C与第r1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错1S(x1)44(x1)36(x1)24x3，则S等于()Ax4Bx41C(x2)4Dx44解析：选A.S(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1C(x1)4C
9、(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)14x4，故选A.2.的展开式中，常数项为15，则n的值为()A3B4C5D6解析：选D.展开式的通项为Tr1C(x2)nr(1)r(x1)r(1)rCx2n3r.令2n3r0，得nr(n，rN*)，若r2，则n3不符合题意，若r4，则n6，此时(1)4C15，所以n6.3在的二项展开式中，x的系数为_解析：二项展开式的通项为Tr1C(2x2)5rC25rx103r(1)r，令103r1，解得3r9，r3，所以T4C22x(1)340x，所以x的系数为40.答案：404(1x)2(1x)5的展开式中含x3的项是_解析：法一：(1x)2(1x)5(1x2
10、)2(1x)3(12x2x4)(13x3x2x3)，所以x3的系数为1(1)(2)(3)5.故含x3的项为5x3.法二：因为(1x)2的通项：Tr1Cxr，(1x)5的通项：Tk1(1)kCxk，所以(1x)2(1x)5的通项：(1)kCCxkr(其中r0，1，2，k0，1，2，3，4，5)令kr3，则有或或所以x3的系数为CCCC5，故含x3的项为5x3.答案：5x35求二项式()9展开式中的有理项解：Tr1C(x)9r(x)r(1)rCx，令Z(0r9)，得r3或r9，所以当r3时，4，T4(1)3Cx484x4，当r9时，3，T10(1)9Cx3x3.综上，展开式中的有理项为84x4与x
11、3. A基础达标1(x2)n的展开式共有11项，则n等于()A9B10C11D8解析：选B.因为(ab)n的展开式共有n1项，而(x2)n的展开式共有11项，所以n10.故选B.2.展开式中的常数项为()A80 B80 C40D40解析：选C.Tk1C(x2)5k()kC2kx105k，令105k0得k2.所以常数项为T3C2240.3在(nN*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A3 B5 C8D10解析：选B.Tk1C(2x3)nk2nkCx3n5k，令3n5k0，则nk，又nN*，kN，所以n的最小值为5.4二项式的展开式中的有理项共有()A4项 B5项 C6项D7项解析：选C
12、.二项式的展开式中，通项公式为Tr1C2rx20.令20为整数，可得r0，2，4，6，8，10，共6项故选C.5已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n()A4 B6 C8D10解析：选A.由题意可知C3254，所以C6，解得n4.6已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为563，则该展开式中x2的系数为_解析：本题是二项式定理问题，Tr1C()nr2rCxnr，因为第5项的系数与第3项的系数比为563，所以，nN*，解得n10，令nr2，解得r2，所以x2的系数为22C180.答案：1807若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_解析：因为展开式中
13、的第3项和第7项的二项式系数相同，即CC，所以n8，所以展开式的通项为Tk1Cx8kCx82k，令82k2，解得k5，所以T6C，所以的系数为C56.答案：568若的展开式中x5的系数是80，则实数a_解析：(ax2)5的展开式的通项Tr1C(ax2)5r()rCa5rx10，令10r5，得r2，所以Ca380，解得a2.答案：29求的展开式的常数项解：法一：因为，所以展开式的通项为Tr1C(1)r(0r5)当r5时，T6C(1)51；当0r5时，的展开式的通项为Tk1Cx5rkCx5r2k(0k5r)因为0r(n2)2n1(nN*，n2)证明：因为nN*，且n2，所以3n(21)n展开后至少有4项(21)n2nC2n1C212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1，故3n(n2)2n1.
