1、13.4不等式的证明【考试要求】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法【知识梳理】1比较法(1)作差比较法已知abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法(2)作商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法2综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法3分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题
2、成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法4反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立5放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的6柯西不等式(1)设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立(2)设a1，a2，an，b1，b2，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(当且仅当bi0(i1,2，n
3、)或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立)(3)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当a0，b0时，.()(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”()(3)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()(4)若ma2b，nab21，则nm.()【教材改编题】1若ab1，xa，yb，则x与y的大小关系是()Axy Bxb1，得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.2已知a，bR，ab2，则的最小值为()A1
4、B2C4 D8答案B解析因为a，bR，且ab2，所以(ab)2，即的最小值为2(当且仅当ab1时，“”成立)3函数f(x)3的最大值为_答案解析函数的定义域为5,6且f(x)0，f(x)，当且仅当3，即x时取等号，f(x)的最大值为.题型一综合法与分析法证明不等式例1已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，bM时，证明：2|ab|4ab|.(1)解由|x1|x1|4，得或或解得2x2，所以M(2,2)(2)证明要证2|ab|4ab|，只需证4(a22abb2)0，即证(a24)(b24)0.因为a，b(2,2)，所以a24，b24，所以a240，b240
5、，所以原不等式成立【备选】(2020全国)设a，b，cR，abc0，abc1.(1)证明：abbcca0，abbcca(a2b2c2)0，b0，c0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)因为a0，b0，a3b32，所以要证(ab)(a5b5)4，只需证(ab)(a5b5)(a3b3)2，即证a6ab5a5bb6a62a3b3b6，即证a4b42a2b2.因为(a2b2)20，所以a4b42a2b2成立，故原不等式成立(2)要证ab2，只需证(ab)38，即证a33a2b3ab2b38，即证ab(ab)2，即证ab(ab)a3b3，即证ab(ab)(ab
6、)(a2abb2)，即证aba2abb2，即证a2b22ab，此式显然成立故原不等式成立题型二放缩法证明不等式例2(1)设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|0，|x1|，可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.(2)设n是正整数，求证：n(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.原不等式成立【备选】若a，bR，求证：.证明当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由02；将分子或分母放大(缩小)，如，(kN*，k1)等(2)利用函数的单调性(3)真分数性质“若0a0，则”跟踪训练2求证：2.证明1)，111
7、120)(1)求m的值；(2)若a2b2c2m，求的最小值解(1)f(x)|xm|x1|xm|(x1)(xm)|1m|4，又m0，所以m3.(2)由(1)知a2b2c23，由柯西不等式有(a2b2c2)216，当且仅当a2b2，c2时等号成立所以316，所以所求最小值为.【备选】(2019全国)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.(1)解x，y，zR，且xyz1，由柯西不等式可得(121212)(x1)2(y1)2(z1)2(x1y1z1)24，可得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x1
8、y1z1，即x，yz时取得等号，即有(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明由xyz1，及柯西不等式可得(121212)(x2)2(y1)2(za)2(x2y1za)2(a2)2，可得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x2y1za时取得等号，即有(x2)2(y1)2(za)2的最小值为，由题意可得，解得a1或a3.思维升华(1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，一定不能忘记检验等号成立的条件跟踪训练3已知函
9、数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.(1)解因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.所以不等式得证课时精练1已知m0，a，bR，求证：2.证明因为m0，所以1m0，所以要证2，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20.因为(ab)20显然成立，所以2成立2若a0，b0，且.(1)求a3b
10、3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324，当且仅当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.3已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab.(1)解由已知可得f(x)f(x)min1，只需|m1|1，解得1m11，0m2，实数m的最大值M2.(2)证明方法一(综合法)a2b22ab，ab1，1，当且仅当ab时取等号又，当且仅当ab时取等
11、号，由得，ab2ab.方法二(分析法)a0，b0，要证ab2ab，只需证(ab)24a2b2，即证a2b22ab4a2b2，a2b22，只要证22ab4a2b2，即证2(ab)2ab10，即证(2ab1)(ab1)0.2ab10，只需证ab1，下证ab1.2a2b22ab，ab1成立，ab2ab.4已知a0，b0，c0，且abc3.证明：(1)a2b2c23；(2)3.证明(1)因为(a2b2c2)(121212)(a1b1c1)29，所以a2b2c23，当且仅当abc1时，等号成立(2)因为(abc)29，所以3，当且仅当abc1时，等号成立5设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2)()证明(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证(abc)23，即证a2b2c22(abbcca)3，又abbcca1，故需证a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.又易知abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)，原不等式成立(2).由于(1)中已证abc ，因此要证原不等式成立，只需证明，即证abc1，即证abcabbcca.又a，b，c，abcabbcca.原不等式成立
