1、考纲要求考纲研读定积分与微积分基本定理1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2了解微积分基本定理的含义.1.定积分在物理中的应用就是变力所作的功2定积分在几何中的应用就是曲边梯形的面积为S.3.定积分的运算可以利用公式，也可以利用几何意义求解.第4讲 定积分及其应用举例 1定积分性质(1)abkf(x)dxkabf(x)dx.(2)abf1(x)f2(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dx.(3)acf(x)dxcbf(x)dxabf(x)dx(aca0)(6)ebaxdxex|ba.(7)ba axdxaxlnaba(a0 且 a1)1(2010 年广东深圳
2、第一次调研)曲线 ysinx，ycosx 与直线 x0，x2所围成的平面区域的面积为()A20(sinxcosx)dxB 240(sinxcosx)dxC20(cosxsinx)dxD240(cosxsinx)dxD2等比数列an中，a36，前三项和 S330 4xdx，则公比 q的值为()A1 B12C1 或12D1 或12C3若20(sinxacosx)dx2，则实数 a 等于()A1 B1 C 3 D.3A解析：20(sinxacosxdxcosxasinx20 a12，a1.4若1(a2x1)dx2，则 a_.15汽车以v3t2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2 s间的1
3、 s内经过的路程是_ m.6.5考点1 定积分的计算 例 1：(2011 年福建)10(ex2x)dx 等于()A1 Be1 Ce De1解析：10(ex+2x)dx=(ex+x2)e1 e00e.C(2011 届广东揭阳水平考试)定积分03 9x2dx 的值为()A9 B3 C.94 D.92解析：由定积分的几何意义知039x2dx 是由曲线 y9x2，直线 x0，x3 围成的封闭图形的面积，故03 9x2dx324 94，选 C.C21|1x|dx_.解析：21|1x|dx11(1x)dx21(x1)dxx12x2 1112x2 x 212032152.52当被积函数是一个带有绝对值的函数
4、，积分时必须把绝对值符号去掉，根据绝对值函数的定义，就要看看 1x 在积分区间1,2是否有变号(即由正变负或由负变正)的情况如因为|1x|1x x1，x1 x1，即 x1 是使函数改变符号的点，因此利用积分区间的可加性此定积分分为两个积分的和，即21|1x|dx11(1x)dx21(x1)dx.【互动探究】1.241x dx 等于()A2ln2 B2ln2 Cln2 Dln2D解析：241xdxlnx|42ln4ln2ln22ln22ln2ln2ln2.2(2011 年广东华附综合测试)02(2|1x|)dx_.3考点2 定积分的应用求平面区域的面积例2：求在0,2上，由x轴及正弦曲线ysin
5、x围成的图形的面积解析：作出 ysinx 在0,2上的图象如图 D8，ysinx 与 x 轴交于 0，2，所求面积 S sinxdx2 sin dx x(cosx)|0(cosx)|2 4.图D8 利用定积分求平面图形的面积的严格按照作图、求交点、确定被积函数和计算定积分的步骤进行因为在0，上，sinx0，其图象在x轴上方；在0,2上，sinx0其图象在x轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积【互动探究】3由曲线yx22与y3x，x0，x2所围成的平面图形的面积为_.1解析：S01(x223x)dx12(3xx22)dx1.考点3 物理方面的应用 例3：汽车以每小时54公里
6、的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？解题思路：汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式解析：由题意，v054(千米/时)15(米/秒)，v(t)v0at153t，令 v(t)0 得 153t0，t5，即 5 秒时，汽车停车汽车由刹车到停车所行驶的路程为s50 v(t)dt50 v(153t)dt15t32t25037.5(米)0.037 5(公里)答：汽车走了 0.037 5 公里汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽
7、车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为 vv(t)v(t)0，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在a，b时间内的路程 s 是曲边梯形(如图 441 的阴影部分)的面积，即路程 sba v(t)dt；如果v(t)0(atb)时，则路程 sba v(t)dt.图441【互动探究】4一物体A以速度v3t22(t的单位：s，v的单位：m/s)，在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8 m处以v8t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，设n s后两物体相遇，则n的值为(
8、)A.4 103 B2 10C5 D4解析：依题意得0(n3t22)dt80 8ntdt，n32n84n2(n4)(n22)0n4.D考点4 定积分的综合的应用 例4：过原点的直线l与抛物线yx24x所围成图形的面积为36，求l的方程解析：由题意可知直线的斜率存在，故设直线 l 的方程为ykx，则由ykx，yx24x，得x0，y0或xk4，ykk4.(1)当 k40，即 k4 时，面积 S40(kkxx24x)dx12kx213x32x2k4012k(k4)213(k4)32(k4)216(k4)336，k2，故直线 l 的方程为 y2x.(2)当 k40，即 k4 时，S04(kkxx24x
9、)dx12kx213x32x20k412kk4213k432k4216(k4)336，k10，故直线 l 的方程为 y10 x.【互动探究】5在区间0,1上给定曲线yx2，试在此区间内确定点t的值，使图442中阴影部分的面积S1与S2之和最小图442解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 yx2 与 x 轴、直线 xt 所围成的面积，即 S1tt220t xdx23t3.S2 的面积等于曲线 yx2 与 x 轴、xt、x1 围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为 t2，(1t)，即 S212t xdxt2(1t)23t3t213.所以阴影部分的面积 S 为 SS1S243t3t213(0t1)当 S(t)4t22t4tt12 0 时，可得 t0，t12.当 t12时，S 最小，所以最小值为 S12 14.1定积分在物理中的应用：在恒力作用下，物体沿力的方向移动 s，则恒力所作的功为 wfs，当 F(x)为变力的，物体在变力F(x)作用下沿 x 轴作直线运动，物体从 xa 称移动到 xb，根据定积分概念知变力所作的功 wba F(x)dx.2定积分在几何中的应用：被积函数为 yf(x)，由曲线 yf(x)与直线 xa，xb(a0 时，Sba f(x)dx.(2)当 f(x)0；当 xc，b时，f(x)0，则 Sca f(x)dxbc f(x)dx.
