1、9.11圆锥曲线中定点与定值问题题型一定点问题例1已知定圆A：(x)2y216，动圆M过点B(，0)，且和圆A相切(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；(2)设不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，点N(4,0)若P，Q，N三点不共线，且ONPONQ.证明：动直线PQ经过定点(1)解圆A的圆心为A(，0)，半径r14.设动圆M的半径为r2，依题意有r2|MB|.由|AB|2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|r1r2，即|MA|MB|42.所以动点M的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为y21.(2)证明设直线l的方程为ykxb(k0)，联立消去y得，(14
2、k2)x28kbx4b240，16(4k2b21)0，设P(x1，kx1b)，Q(x2，kx2b)，则x1x2，x1x2，于是kPNkQN，由ONPONQ知kPNkQN0.即2kx1x2(4kb)(x1x2)8b2k(4kb)8b8b0，得bk，16(3k21)0.故动直线l的方程为ykxk，过定点(1,0)【备选】在平面直角坐标系中，已知动点M(x，y)(y0)到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点N(4,4)作斜率为k1，k2的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且1.证明：直线AB恒过定点(1)解由题意可知y1，化简可得曲线C：x24y.
3、(2)证明由题意可知，N(4,4)是曲线C：x24y上的点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则lNA：yk1(x4)4，lNB：yk2(x4)4，联立直线NA的方程与抛物线C的方程，x24k1x16(k11)0，解得x14(k11)，同理可得x24(k21)，而lAB：y(xx1)，又1，由整理可得lAB：y(k1k22)x4，故直线AB恒过定点(0，4)思维升华求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解
4、所确定的点就是直线或曲线所过的定点(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式ykxm，则直线必过定点(0，m)跟踪训练1(2022邯郸质检)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点.(1)求椭圆方程；(2)设直线l：ykxm(k0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N.(1)解椭圆过点，即1，又2c2，得a2b23，所以a24，b21，即椭圆方程为y21.(2)证明由得(14k2)x28kmx4m240，16(4k2m21)0，设A(x1，y1)，B(x2，
5、y2)，则x1x2，设AB的中点M为(x0，y0)，得x0，即14k28km，所以y0kx0mk.所以AB的中垂线方程为y，即y，故AB的中垂线恒过点N.题型二定值问题例2(2022江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E：y22px(p0)上的动点M到直线x1的距离比到抛物线E的焦点F的距离大.(1)求抛物线E的标准方程；(2)设点Q是直线x1(y0)上的任意一点，过点P(1,0)的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为kAQ，kBQ，kPQ，证明：为定值(1)解由题意可知抛物线E的准线方程为x，所以，即p1，故抛物线E的标准方程为y22x.(2)证明设Q(1，y0)，A
6、(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为xty1.联立消去x，得y22ty20.4t280，所以y1y22t，y1y22，kPQ.又kAQkBQy0.所以2(定值)【备选】(2022邯郸模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|F1F2|2，ABF2的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)，试分析是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由解(1)因为ABF2的周长为8，所以4a8，解得a2，由|F1F2|2，得222，所以b23，因此椭圆C的标准方程为1.(2)由题意可得直
7、线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，由整理得(34k2)x28k2x4k2120，显然0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设M(0，k)，又F1(1,0)，所以(x1，y1k)，(x11，y1)，则.同理可得(x2，y2k)，(x21，y2)，则.所以，所以为定值.思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可
8、求得跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线ykx(k0)经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1，点P的坐标为.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：k1k为定值(1)解由题意知解得故椭圆C的方程为1.(2)证明设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于A，B为椭圆C上的点，所以1，1，两式相减得，所以k1.又k，故k1k，为定值课时精练1(2022运城模拟)已知P(1,2)在抛物线C：y22px上(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为
9、2，证明：直线AB过定点(1)解将P点坐标代入抛物线方程y22px，得42p，即p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明设AB：xmyt，将AB的方程与y24x联立得y24my4t0，016m216t0m2t0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24t，kPA，同理kPB，由题意知2，即4(y1y24)2(y1y22y12y24)，解得y1y24，故4t4，即t1，故直线AB：xmy1恒过定点(1,0)2已知椭圆1(ab0)的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为5.(1)求椭圆的方程；(2)设点M，N在椭圆上，以线段MN为直径的圆过原点O，试问是否存在定点P，使
10、得P到直线MN的距离为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题设可知解得a3，c2，b2a2c25，所以椭圆的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，若直线MN与x轴垂直，由对称性可知|x1|y1|，将点M(x1，y1)代入椭圆方程，解得|x1|，原点到该直线的距离d；若直线MN不与x轴垂直，设直线MN的方程为ykxm，由消去y得(9k25)x218kmx9m2450，由根与系数的关系得由题意知，0，即x1x2(kx1m)(kx2m)0，得(k21)kmm20，整理得45k24514m2，则原点到该直线的距离d，故存在定点P(0,0)，使得P到直线MN的距离
11、为定值3已知双曲线C的渐近线方程为yx，右焦点F(c,0)到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)过F作斜率为k的直线l交双曲线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值(1)解设双曲线方程为3x2y2(0)，由题意知c2，所以43，所以双曲线C的方程为x21.(2)证明设直线l的方程为yk(x2)(k0)代入x21，整理得(3k2)x24k2x4k230，36(k21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2，由弦长公式得|AB|，设AB的中点P(x0，y0)，则x0，代入l得y0，AB的垂直平分线方程为y，令y0得xD，即|FD|，所以1为定值当
12、k0时，|AB|2，|FD|2，1，综上所述，为定值4(2022河南九师联盟模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在一个点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c2,2a4，解得c1，a2，所以b2a2c23，所以椭圆C的方程为1.(2)由(1)知F1(1,0)，设点E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m，0)，因为直线l不与x轴重合，所以设直线l的方程为xny1，联立得(3n24)y26ny90，所以(6n)236(3n24)0，所以y1y2，y1y2，又x1x2(ny11)(ny21)n2y1y2n(y1y2)11，x1x2n(y1y2)22.直线ME，MD的斜率分别为kME，kMD，所以kMEkMD，要使直线ME，MD的斜率之积恒为定值，3m2120，解得m2，当m2时，存在点M(2,0)，使得kMEkMD，当m2时，存在点M(2,0)，使得kMEkMD，综上，在x轴上存在点M，使得ME，MD的斜率之积恒为定值，当点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值，当点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值.
