1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.3复数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.了解复数的几何意义，并能简单应用(重点)2理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系(易错点)3了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(重点、难点)通过对复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义的学习，培养直观想象素养.1复数的几何意义(1)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴(2)复数的几何意义复数zabi(a，bR) 复平面内的点Z(a，b) 平面向量.2复数的模(1)定义向量的模叫做复数zabi的模，记作|z|.(2)公式|z|.(3)几何意义复数z
2、对应点Z到原点O的距离3复数加减法的几何意义(1)如图所示，设向量，分别与复数z1abi，z2cdi对应，且和不共线，以，为两条邻边画OZ1ZZ2.则向量与复数z1z2相对应，向量与复数z1z2相对应(2)|z1z2|，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离思考：类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0C)的几何意义是什么？提示|zz0|(z，z0C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离1已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限Bzz2z1(12i)(2i)1i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限
3、2设z12i，z215i，则|z1z2|为()A.B5C25 D.B|z1z2|(2i)(15i)|34i|5.3复数43i与25i分别表示向量与，则向量表示的复数是_68i因为复数43i与25i分别表示向量与，所以(4,3)，(2，5)，又(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量表示的复数是68i.复数的几何意义【例1】(1)实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第_象限(2)设复数z(mR)在复平面内对应的点为Z.若点Z在虚轴上，求m的值；若点Z位于第一象限，求m的取值范围(1)二实部为2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(2,1)，位于第二象限(2)解zi.点Z在虚轴上，0，则
4、m2.点Z位于第一象限，则m20且12m0，解得2m.故实数m的取值范围是.复数可由复平面内的点或向量进行表示(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题(2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题1实数x取什么值时，复平面内表示复数zx2x6(x22x15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即3x2时，点Z位于第三象限(2)当实数x满足即2x5时，点Z位于第四象限
5、，(3)当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即3x60，x2时，点Z位于直线xy30上复数加减法的几何意义【例2】(1)向量对应的复数为14i，向量对应的复数为36i，则向量对应的复数为_(2)若，对应的复数分别是7i,32i，则|_.思路探究利用复数加减法的几何意义求解(1)210i(2)5(1)(14i)(36i)210i.即向量对应的复数为210i.(2)对应复数为(32i)(7i)43i，|43i|5.1根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则2复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能2在复平面内
6、，A，B，C分别对应复数z11i，z25i，z333i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长解由复数加减法几何意义：对应复数z3z1，对应复数z2z1，对应复数z4z1，根据向量的平行四边形法则，得，z4z1(z2z1)(z3z1)，z4z2z3z1(5i)(33i)(1i)73i，AD的长为|z4z1|(73i)(1i)|62i|2.复数的模及其几何意义探究问题1满足|z|1的所有复数z对应的点组成什么图形？提示满足|z|1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上2若|z1|z1|，则复数z对应的点组成什么图形？提示|z1|z1|，点Z到(1,
7、0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上3复数|z1z2|的几何意义是什么？提示复数|z1z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离【例3】(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1BC2 D(2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值(1)A设复数i，i，1i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2, |Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1，所以|zi1|min1.(2)如图所示， |2.所以|
8、z|max213，|z|min211.1(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z34i|1”，求|z|的最大值解因为|z34i|1，所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是16.2(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|1且zC，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值解因为|z|1且zC，作图如图：所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|121.|z1z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数
9、形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. 1复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)对应复平面内的点P(a，b)(2)复数zabi(a，bR)对应复平面内的向量(a，b)2复数加减法的几何意义：实质为向量的加减运算3复数的模是表示复数的向量的长度，复数的模可以比较大小.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()(3)复数的模一定是正实数()答案(1)(2)(3)2(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)2
10、1Dx2(y1)21C法一：z在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选C.法二：|zi|1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，x2(y1)21.故选C.法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z1i满足|zi|1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z2i满足|zi|1，但点(0,2)不在选项B的圆上，排除B.故选C.3复数zx2(3x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是_(3，)复数z在复平面内对应的点在第四象限，解得x3.4已知复数z满足z|z|28i，求复数z.解设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得，abi28i，解得z158i.- 8 - 版权所有高考资源网
