1、考纲要求考纲研读1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3会利用导数解决某些实际问题.备考时要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以 e 为底)的综合题主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解；(3)灵活应用函数图象与性质等.第3讲 导数的综合应用 1求参数的取值范围与导数相关的参数范围问题是高考中考查的一个重点，大多给
2、出函数的单调性，属运用导数研究函数单调性的逆向问题，解题关键在于灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字母参数的不等关系2用导数方法证不等式用导数证不等式的一般步骤是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论3平面图形面积的最值问题此类问题的求解关键在于根据几何知识建立函数关系，然后运用导数方法求最值上述三类问题，在近几年的高考中都是综合题，难度较大，体现了在知识交汇点处命题的思路，注重考查综合解题能力和创新意识，复习时要引起重视4利用导数解决生活中的优化问题优化问题可归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决用导数解决优化问题，即求实际问题中的最大(小)值的主要步
3、骤如下：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)，即将优化问题归结为函数最值问题；(2)求导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使 f(x)0 的点的函数值大小，最大者为最大值，最小者为最小值；(4)检验作答，即获得优化问题的答案A则物体在 t3 s 的瞬时速度为(A30C45)B40D501已知物体自由落体的运动方程 s12gt2(其中 g10 m/s2)，2函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图象如图 431，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A图
4、431A1 个B2 个C3 个D4 个3函数 f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x3 时取极值，则 a()DA2B3C4D54函数 f(x)12xx3在区间3,3上的最小值是_.5曲线 yxex2x1 在点(0,1)处的切线方程为_.16y3x1考点1 求参数的范围问题 例1：若f(x)12x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1 D(，1)解析：f(x)12x2bln(x2)在(1，)上是减函数，f(x)xbx20在(1，)上恒成立，即b1.当b1时，bx(x2)在(1，)上恒成立即f(x)12x2bln(x2)在(1，)上是减函数答案
5、：C【互动探究】1设函数f(x)x392x26xa.(1)对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围解：(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，因为x(，)，f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立所以8112(6m)0，得m34，即m的最大值为34.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取极大值f(1)52a；当x2时，f(x)取极小值f(2)2a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)0仅有一个实根解得a52.考点2 利用导数证明不等式问题 例 2：已知函数 f(x)1xax ln
6、x.(1)若函数 f(x)在1，)上为增函数，求正实数 a 的取值范围；(2)当 a1 时，求 f(x)在12，2 上的最大值和最小值；(3)当 a1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn1213141n.解析：(1)f(x)1xax lnx，f(x)ax1ax2(a0)函数 f(x)在1，)上为增函数，f(x)ax1ax2 0 对 x1，)恒成立 ax10 对 x1，)恒成立 即 a1x对 x1，)恒成立 a1.(2)当 a1 时，f(x)x1x2.当 x12，1 时，f(x)0，故 f(x)在 x(1,2上单调递增 f(x)在区间12，2 上有唯一极小值点，故 f(x)mi
7、nf(x)极小值f(1)0.又 f12 1ln2，f(2)12ln2，f(12)f(2)322ln2lne3ln162，e316，f12 f(2)0，即 f12 f(2)f(x)在区间12，2 上的最大值 f(x)maxf12 1ln2.综上可知，函数 f(x)在12，2 上的最大值是 1ln2，最小值是 0.(3)当 a1 时，f(x)1xx lnx，f(x)x1x2，故 f(x)在1，)上为增函数 当 n1 时，令 x nn1，则 x1，故 f(x)f(1)0.fnn1 1 nn1nn1ln nn11nln nn10，即 ln nn11n.ln2112，ln3213，ln4314，ln n
8、n11n.ln21ln32ln43ln nn11213141n.lnn1213141n.即对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn1213141n.本题的关键在于 f(x)1xx lnx，f(x)x1x2，故f(x)在1，)上为增函数当 n1 时，令 x nn1，则 x1，故f(x)f(1)0，fnn1 1 nn1nn1ln nn11nln nn10，即 ln nn11n.怎么想到要这么做，主要受前面两小题的强烈提示通过本题的学习，我们要掌握此类问题一般规律本题出错在于同学完全没有想到利用前面的结论，而直接讨论函数 f(x)ln xx11x的单调性求解，可以试试看，肯定行不通【互动探究】2已
9、知函数 f(x)kx，g(x)lnxx.(1)求方程 f(x)g(x)在区间1e，e 内的解的个数；(2)求证：ln224 ln334 lnnn4 12e或 ke2 时，该方程无解当 k 12e或e2k1e2时，该方程有一个解当1e2k 12e时，该方程有两个解(2)由(1)知lnxx2 12e，lnxx4 12e1x2.ln224 ln334 lnnn4 12e122 132 1n2.122 132 1n2 112 1231n1n112 1213 1n11n 11n1.ln224 ln334 lnnn4 0)时，燃料费用为 Q 元，则 Qkx3，由6k103 可得 k 3500，Q 3500
10、 x3.总费用 y3500 x396 1x3500 x296x，y 6500 x96x2.令 y0 得 x20，当 x(0,20)时，y0，此时函数单调递增，当 x20 时，y 取得最小值，此轮船以 20 公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小答案：思想与方法8利用数形结合思想讨论函数的图象及性质例题：(2011 年“江南十校”联考)已知函数 f(x)ax3bx2cx 在 x1 处取得极值，且在 x0 处的切线的斜率为3.(1)求 f(x)的解析式；(2)若过点 A(2，m)可作曲线 yf(x)的三条切线，求实数 m 的取值范围解析：(1)f(x)3ax22bxc，依题意f13a2bc0，
11、f13a2bc0 b0，3ac0.又f(0)3，c3，a1.f(x)x33x.(2)设切点为(x0，x303x0)，f(x)3x23，f(x0)3x203.切线方程为y(x303x0)(3x203)(xx0)，又切线过点A(2，m)，m(x303x0)(3x203)(2x0)m2x306x206.m 的取值范围是(6,2)图433令g(x)2x36x26，则g(x)6x212x6x(x2)由g(x)0得x0或x2.g(x)极小值g(0)6，g(x)极大值g(2)2.画出草图知(如图433)，当6m2时，m2x36x26有三解，关于导数的应用，课标要求(1)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导
12、数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值(3)体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数在解决实际问题中的作用1用导数求最值时，要步骤规范、表格齐全；若解析式中含有参数，要注意讨论参数的大小2如果连续函数在某区间内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值，即不必再与端点处函数值进行比较3在解决实际优化问题时，要注意所设自变量的取值范围，同时要注意考虑问题的实际意义，把不符合实际意义的值舍去，并还原到实际问题作答
