1、考试标准 课标要点学考要求高考要求正交分解的概念aa向量的坐标表示bb平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示bb平面向量共线的坐标表示bb知识导图 学法指导 1.学习了本节后，可以知道向量有三种表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法2向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实质是同名坐标之间的运算.1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个_的向量，叫作把向量正交分解互相垂直2平面向量的坐标表示(1)向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个_ i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y，使得 a_，则把有
2、序数对 a_叫作向量 a 的坐标(2)向量的坐标表示在向量 a 的直角坐标中，_叫作 a 在 x 轴上的坐标，_叫做a 在 y 轴上的坐标，_叫作向量的坐标表示(3)在向量的直角坐标中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)单位向量xiyj(x，y)xy(x，y)状元随笔 1.对平面向量坐标的几点认识(1)设OA x iy j(O 为坐标原点)，则向量OA 的坐标(x，y)就是终点 A 的坐标；反过来，终点 A 的坐标就是向量OA 的坐标(x，y)因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的(2)两向量相等的等价条件是它们对应的
3、坐标相等(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同2符号(x，y)的意义符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)3平面向量的坐标运算(1)已知向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab_，ab_，a_(2)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 为坐标原点，则ABOB OA(x2，y2)(x1，y1)_即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_的坐标减去_的坐标(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)
4、(x2x1，y2y1)终点始点小试身手1判断下列命题是否正确.(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)当向量的终点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()2已知向量a(2,3)，b(2，3)，则下列结论正确的是()A向量 a 的终点坐标为(2,3)B向量 a 的起点坐标为(2,3)C向量 a 与 b 互为相反向量D向量 a 与 b 关于原点对称解析：因为 a(2,3)，b(2，3)，所以 ab(2,3)(2，3)(0,0)0.所以 ab.答案：C3已知 M(2,
5、3)，N(3,1)，则NM 的坐标是()A(2，1)B(1,2)C(2,1)D(1，2)解析：NM(23,31)(1,2)答案：B4若向量BA(2,3)，CA(4,7)，则BC_.解析：BCBAACBACA(2,3)(4,7)(2，4)答案：(2，4)类型一 求向量的坐标例 1 在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b 的方向如图所示，且|a|2，|b|3，分别求出它们的坐标【解析】设点 A(x，y)，B(x0，y0)，|a|2，且AOx45，x2cos 45 2，且 y2sin 45 2.又|b|3，xOB9030120，x03cos 12032，y03sin 1203 32.故 aOA(2，
6、2)，bOB 32，3 32.由于向量 a，b的起点在坐标原点，因此只需求出终点 A，B的坐标 方法归纳 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标跟踪训练 1 如图，在正方形 ABCD 中，O 为中心，且OA(1，1)，则OB _；OC _；OD _.(1，1)(1,1)(1,1)解析：由题意知，OC OA(1，1)(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，1)，所以OB(1，1)，同理OD(1,1)答案：(1，1)(1,1)(1,1)结合图形
7、可知OC OA，由正方形的对称性可知 B，D 点坐标.类型二 平面向量的坐标运算例 2(1)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A.(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)(2)已知向量 a，b 的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求 ab，ab，3a,2a3b 的坐标【解析】(1)方法一 设 C(x，y)，则AC(x，y1)(4，3)，所以x4，y2，从而BC(4，2)(3,2)(7，4)故选 A.方法二 AB(3,2)(0,1)(3,1)，BCACAB(4，3)(3,1)(7，4)，故选 A.(2)ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(
8、3，5)(4,7)，3a3(1,2)(3,6)，2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)【答案】(1)A(2)见解析方法一先求 C 点坐标，再求BC.方法二先求AB，再求BC.方法归纳平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行跟踪训练 2(1)已知 A、B、C 的坐标分别为(2，4)、(0,6)、(8,10)，则AB2BC_，BC12AC_；(2)已知向量 a(1,2)，b(2,3)，c
9、(4,1)，若用 a 和 b 表示 c，则 c_.(18,18)(3，3)2ab解析：(1)A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)，AB(2,10)，BC(8,4)，AC(10,14)，AB2BC(18,18)，BC12AC(3，3)(2)设 cxayb，则(x,2x)(2y,3y)(x2y,2x3y)(4,1)故x2y4，2x3y1，解得x2，y1.所以 c2ab.答案：(1)(18,18)(3，3)(2)2ab(1)先求AB，BC，AC 坐标，再计算AB 2BC，BC 12AC 的值(2)设 cx ay b，建立方程组，求出 x，y.类型三 向量坐标运算的应用例 3 已知点 O(0,0
10、)，A(1,2)，B(4,5)，及OP OA tAB.(1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？(2)四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由【解析】(1)OP OA tAB(1,2)t(3,3)(13t,23t)若点 P 在 x 轴上，则 23t0，所以 t23.若点 P 在 y 轴上，则 13t0，所以 t13.若点 P 在第二象限，则13t0，23t0，所以23t13.(2)OA(1,2)，PB(33t,33t)若四边形 OABP 为平行四边形，则OA PB，所以33t1，33t2，该方程组无解故四边形 OAB
11、P 不能为平行四边形(1)OP(13t,23t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解(2)若四边形 OABP 为平行四边形，则有OA PB.方法归纳 向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的跟踪训练 3 若保持本例条件不变，B 为线段 AP 的中点，则 t_.解析：由OP OA tAB，得APtAB.所以当 t2 时，AP2AB，B 为线段 AP 的中点答案：2由 B 是 AP 的中点，得AP2AB，求出 t 的值