1、考纲要求考纲研读直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点(2)了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明而直接证明与间接证明就是两类基本的证明方法综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知；分析法是从未知看需知，逐步靠拢已知反证法是间接证明的一种，它是从否定原命题的结论入手进行推理的.第2讲 直接证明与间接证明 1直接证明综合法(1)_是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法分
2、析法(2)_是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法2间接证明反证法_是假设命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法，它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：假设命题的结论不成立；根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；断言假设不成立；肯定原命题的结论成立1若 0a1,0b0，则lg2 2 .证明：当 a，b0 时，ab2 ab，两边取对数，得 lgab2 lg ab，又 lg ablgab2 lgalgb2，当
3、 a，b0 时，lgab2 lgalgb2.考点2 分析法 例 2：已知 a0，求证：a2 1a2 2a1a2.证明：要证a2 1a2 2a1a2，只要证a2 1a22a1a2.a0，故只要证a2 1a22 2a1a 2 2，即 a2 1a24 a2 1a24a22 1a22 2a1a 2，从而只要证 2 a2 1a2 2a1a，只要证 4a2 1a2 2a22 1a2，即 a2 1a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立【互动探究】2若 abcd0 且 adbc，求证：d a b c.证明：要证 d a b c，只需证(d a)2(b c)2，即 ad2 adbc2 bc，因 adbc，只
4、需证 ad bc，即 adbc.设 adbct，则 adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，adbc 成立从而 d a b c成立考点3 反证法 例 3：(2011 年广东广州模拟)已知数列an 的前 n 项和 Snn1 an2，且 a11.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bnlnan，是否存在 k(k2，kN*)，使得 bk，bk1，bk2 成等比数列若存在，求出所有符合条件的 k 值；若不存在，请说明理由解析：(1)方法一：当 n2 时，anSnSn1n1 an2nan12，即ann an1n1n2.所以数列ann 是首项为a11 1 的常数列所以ann 1，即 annnN
5、*.所以数列an 的通项公式为 annnN*.方法二：当 n2 时，anSnSn1n1 an2nan12，即 anan1 nn1n2.所以 an anan1an1an2a3a2a2a1a1 nn1n1n232211n.因为 a11，符合 an 的表达式所以数列an 的通项公式为 annnN*.(2)假设存在 kk2，m，kN*，使得 bk，bk1，bk2 成等比数列，则 bkbk2b2k1.因为 bnlnanlnn(n2)，所以 bkbk2lnkln(k2)lnklnk222lnk22k220，且 xy2，求证：1yx 与1xy 中至少有一个小于 2.证明：假设1yx 2 且1xy 2，得 1
6、y2x,1x2y，两式相加得：1y1x2x2y，即 xy2，与题设矛盾故原命题成立考点4 信息给予题中的推理与证明 例4：(2011年湖南醴陵测试)对于给定数列cn，如果存在实常数p，q使得cn1pcnq对于任意nN*都成立，我们称数列cn是“M类数列”(1)若an2n，bn32n，nN*，数列an，bn是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；(2)证明：若数列an是“M类数列”，则数列anan1也是“M类数列”解析：(1)因为an2n，则有an1an2，nN*.故数列是an是“M类数列”，对应的实常数分别为1,2.因为bn32n，则有bn12bn，nN*.故数
7、列bn是“M类数列”，对应的实常数分别为2,0.(2)证明：若数列an是“M类数列”，则存在实常数p，q，使得an1panq对于任意nN*都成立，且有an2pan1q对于任意nN*都成立因此(an1an2)p(anan1)2q对于任意nN*都成立，故数列anan1也是“M类数列”，对应的实常数分别为p,2q.准确把握信息是解题的关键，本题“只要找到实常数p，q使得cn1pcnq成立，则数列cn就是“M类数列”，如an2n，an12n2，则有an1an2，此时p1，q2，则称数列cn是“类数列”以此类推【互动探究】4对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的x0,1，总有f
8、(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则称函数f(x)为理想函数 (1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；(2)判断函数g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，并予以证明解：(1)取x1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0，又由条件f(0)0，故f(0)0.(2)显然g(x)2x1在0,1满足条件g(x)0，也满足条件g(1)1.若x10，x20，x1x21，则g(x1x2)g(x1)g(x2)2x1x21(2x11)(2x21)2x1x22x12x21(2x21)(2x11)0，即满足条件，故g(x)是理想函数1综合法
9、是一种由因导果的证明方法，又叫顺推法它常见的书面表达形式是“，”或“”利用综合法证明“若 A 则 B”命题的综合法思考过程可用如图 1021 的框图表示为：图 10212分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索因法它常见的书面表达形式是：“要证，只需证”或“”利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用如图 1022 的框图表示为：图 1022 综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1，B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4等等，最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可3
10、反证法是一种间接的方法，常常是利用直接证法如综合法、分析法有困难时利用反证法来证明，即“正难则反”分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从B上溯寻其论据，如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3，B4等等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的依据，如果其中之一B的论据恰为已知条件，于是命题得证分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析法的逆过程混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍要注意两种证明方法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误利用反证法证明问题是从否定结论入手的，没有使用假设命题而推出矛盾结果，其推理过程是错误的
