1、永城高中高一（I）部数学必修5学案（4）解三角形应用举例 学案撰写人：高申一学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题4.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,5. 了解常用的测量相关术语二学习方法指引1.读懂题，正确理解题意，将实际问题转化成数学问题。2.多思考、多尝试，善于总结。三基础知识1.解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（
2、2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2.利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。3.在求解三角形中，有时根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解4.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次
3、利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。5.利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。6.主要方法:正确区分两个定理的不同作用，正弦定理主要围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解；两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式；余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知道其中的任意三个量可求出第四个量；7.方向角一般是
4、指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东度， 北偏西度，南偏东度，南偏西度.8.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、OE是视线，是仰角， 是俯角.四典型例题例1.用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.分析：在RtEGA中求解EG，只有角一个条件，需要再有一边长被确定，而EAC中有较多已知条件，故可在EAC中考虑EA边长的求解，
5、而在EAC中有角，EAC180两角与BDa一边，故可以利用正弦定理求解EA.解：在ACE中，ACBDa，ACE，AEC，根据正弦定理，得在RtAEG中，EGAEsinEFEGbb，答：气球的高度是b.例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？北甲乙【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用求出边长,再进行进一步分析.解析如
6、图，连结，由已知， ，又， 是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里AB例3甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？ABDC解: 此时,甲、乙两船相距最近五课堂练习巩固与提高1.海上有A、B两个小岛相距10海里 ，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成视角，则B、C间的距离是（ ）A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里2.在中，则三角形为 ( )A直角三角形 B锐角三
7、角形C等腰三角形 D等边三角形3.在200m的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为，则塔高为（ ）A. B. C. D.4.如右图所示，D、C、B在地平面同一直线上，从D、C两地测得A点 的仰角分别为和，则A点离地面的高AB等于（ ）A.10m B. C. D.5.某人向正东方向走了后，他向右转，然后朝此方向前进了3km，此时， 他离出发点的距离是（ ）A. B. C. D.6.在中，角A、B的对边分别是，且，那么满足条 件的 （ ） A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 7. 在ABC中，若，则ABC的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形
8、D.等边三角形8.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形9. 在中，若，则一定是( )A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形10. 在中，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边的长为（）A2 B3 C4 D511.在ABC中，C=，则的最大值是_.12. 若中，已知，则角C的大小是_13.甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，求甲、乙两楼的高.14.在ABC中，已知，A45，BC=，求角C。15.在中，已知， （）求的值；（）设，求的面积16.隔河有两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距的C、D两点，同时，测得，（A、B、C、D在同一平面 内），求两目标A、B之间的距离.17.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
