1、A基础达标1若f(x)(2xa)2,且f(2)20,则a()A1B2C3 D4解析:选A设f(x)t2,t2xa,则f(x)2t24t4(2xa),f(2)4(4a)20,所以a1.2函数y(x2a)(xa)2的导数为()A3x2 B3x23a2C2x22a2 D2x2解析:选By(x2a)(xa)2(x2a)(xa)2(xa)22(x2a)(xa)(xa)3x23a2.3曲线y在点(1,1)处的切线方程为()Axy10 Bxy10Cxy20 Dxy20解析:选Cy,当x1时,y1,所以k1,由点斜式得切线方程为:y1(x1),即xy20.4已知f(x)exsin x,则f_解析:f(x)(e
2、x)sin xex(sin x)exsin xexcos xex(sin xcos x),所以fee.答案:e5函数yxsincos的导数为_解析:因为yxsincossin(4x)sin 4x,所以ysin 4x(sin 4x)sin 4x2xcos 4x.答案:sin 4x2xcos 4x6已知a0,f(x)ax22x1ln(x1),l是曲线yf(x)在点P(0,f(0)处的切线,则切线l的方程为_解析:f(x)ax22x1ln(x1),f(0)1.所以f(x)2ax2,f(0)1,所以切点P的坐标为(0,1),l的斜率为1,所以切线l的方程为xy10.答案:xy107求下列函数的导数:(
3、1)yxsin2x;(2)yxe12x;(3)ycos xsin 3x.解:(1)y(x)sin2xx(sin2x)sin2xx2sin x(sin x)sin2xxsin 2x.(2)ye12xx(e12x)e12xxe12x(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x.(3)y(cos xsin 3x)(cos x)sin 3xcos x(sin 3x)sin xsin 3x3cos xcos 3x.8已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程解:对f(x)2f(2x)x28x8两边求导,得f(x)2f(2x)2x8,于
4、是f(1)2f(1)28,解得f(1)2,故切线斜率为2.又f(x)2f(2x)x28x8,令x1,得f(1)2f(1)188,解得f(1)1,即切点坐标是(1,1),所以切线方程为y12(x1),即y2x1.B能力提升1已知函数yeaxb,则y_解析:yeaxb可由yeu,uaxb复合而成,从而yxyuuxeuaaeaxb.答案:aeaxb2已知函数f(x)ln(x1),若a2,则曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为_解析:f(x).当a2时,f(0),而f(0),因此曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y(x0),即7x4y20.答案:7x4y203求曲线yln(2x1
5、)上的点到直线2xy30的最小距离解:设点P(x0,y0)为已知曲线上任意一点,由题意得点P到直线2xy30的最小距离为曲线yln(2x1)在点P处的切线与直线2xy30平行时的距离由yln(2x1)(2x1),知点P处的切线斜率为.由2,得x01,y0ln(2x01)0.所以点P(1,0)处的切线方程为y2(x1),即2xy20.2xy30与2xy20的距离为.4(选做题)日常生活中的饮用水通常是经过净化的随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)(80x100)求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1)90%;(2)98%.解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c(x)5 2845 284(x100),(1)因为c(90)52.84,所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率为52.84元/吨(2)因为c(98)1 321,所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率为1 321元/吨