1、专题检测（七） 三角恒等变换与解三角形A组“633”考点落实练一、选择题1.(2019开封市定位考试)已知cos，则cos 2的值为()A.B.C. D.解析：选B因为cos，所以sin ，所以cos 212，故选B.2.(2019长春市质量监测一)函数f(x)sinsin x的最大值为()A. B.2C.2 D.4解析：选A法一：由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数的最大值为，故选A.法二：由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos x，故函数的最大值为 ，故选A.3.(2019长春市质量监测一)在ABC中，内角A，B，C的对
2、边分别为a，b，c，若bacos Cc，则角A等于()A.60 B.120C.45 D.135解析：选A由bacos Cc及余弦定理，可得bac，即2b2b2a2c2bc，整理得b2c2a2bc，于是cos A，又0A，所以A60，故选A.4.(2019江西七校第一次联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba，a2，c，则角C()A. B.C. D.解析：选D由ba，得sin Bsin A.因为sin Bsin(AC)sin(AC)，所以sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Asin C(sin C0)，cos Asin A，所以tan A.因为
3、0A，所以A.由正弦定理，得sin C.因为0C，所以C.故选D.5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形解析：选A根据正弦定理得cos A，即sin Csin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)sin Bcos A，整理得sin Acos B0，cos B0，B，ABC为钝角三角形.6.(2018南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)的200千米处，若cos cos ，则v()A.6
4、0 B.80C.100 D.125解析：选C如图，台风中心为B，2.5小时后到达点C，则在ABC中，ABsin ACsin ，即sin sin ，又cos cos ，sin2cos2sin2cos21sin2cos2，sin cos ，sin ，cos ，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin 0，BC2AB2AC2，(2.5v)215022002，解得v100，故选C.二、填空题7.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_.解析：由余弦定理得b2a2c22accosB.又 b6，a2c，B， 364c2c22
5、2c2， c2，a4， SABCacsin B426.答案：68.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，2sin Asin B，且b6，则c_.解析：由余弦定理得a2b2c22bcb2c2bc，又2sin Asin B，由正弦定理可得，即a2b24c20，则b2c2bcb24c20.又b6，c22c240，解得c4(负值舍去).答案：49.(2019洛阳市统考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且tan B，则的值是_.解析：a，b，c成等比数列，b2ac，由正弦定理得sin2Bsin Asin C，tan B，sin B，. 答案：三、
6、解答题10.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cos ADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sin ADB.由题设知，ADB90，所以cos ADB .(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC25825225，所以BC5.11.(2019重庆市学业质量调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为accos B，且sin A3sin C.(1)求角B的大小；(2)若c2，AC的中点为D，求BD的长.解
7、：(1)SABCacsin Baccos B，tan B.又0B，B60.(2)sin A3sin C，由正弦定理得，a3c，a6.由余弦定理得b26222226cos 6028，b2.cos A.D是AC的中点，AD.BD2AB2AD22ABADcos A22()22213.BD.12.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，
8、所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).因为0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.B组大题专攻强化练1.(2019江西七校第一次联考)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2(bc)2bc.(1)求角A的大小；(2)若f(x)sin(2xA)，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后又向上平移了2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及单调递减区间.解：(
9、1)a2(bc)2bc，a2b2c2bc，cos A，又0A，A.(2)f(x)sin，g(x)sin2，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数g(x)的单调递减区间为，kZ.2.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Acos Ccsin Acos Abcos A0.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积为4，且b，a，c成等差数列，求ABC的内切圆的半径.解：(1)由asin Acos Ccsin Acos Abcos A0，可知sin A(sin Acos Ccos Asin C)sin Bcos A，sin Asin(AC)sin Bcos A，s
10、in(AC)sin B，sin Asin Bsin Bcos A，sin B0，sin Acos A，tan A，又A(0，)，A.(2)由题意可知SABCbcsin Abc4，bc16，又a2b2c22bccos A，a2(bc)23bc，又b，a，c成等差数列，a24a248，a4，bc2a8，ABC的周长为abc12，设ABC内切圆的半径为r，则r(abc)SABC，即r124，r.3.(2019武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C.(1)求B的大小；(2)求sin Acos C的取值范围.解：(
11、1)锐角三角形ABC中，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C，故b2a2c2ac，cos B，又B，所以B.(2)由(1)知，CA，故sin Acos Csin Acossin Acos Asin.又A，CA，所以A，A，sin，故sin Acos C的取值范围为.4.(2019洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，ABC为锐角，ADBD，AC平分BAD，BC2，BD3，BCD的面积S.(1)求CD；(2)求ABC.解：(1)在BCD中，SBDBCsinCBD，BC2，BD3，sinCBD.ABC为锐角，CBD30.在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcosCBD(2)2(3)222(3)9，CD3.(2)在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBDC.BCBD，BDC为锐角，cosBDC.在ACD中，由正弦定理得，即.在ABC中，由正弦定理得，即.AC平分BAD，CADBAC.由得，解得sinABC.ABC为锐角，ABC45.
