1、2019-2020学年江苏省常州市教学研究合作联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1. 已知集合2，4，6，的子集个数为A. 1B. 2C. 4D. 82. 函数的定义域为A. B. C. D. 3. 已知函数与分别由表给出，则x123439x234213A. 4B. 1C. 3D. 94. 己知函数，且的图象恒过定点A，则A的坐标为A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D. 6. 函数的大致图象为A. B. C. D. 7. 若幂函数的图象经过点，则A. 9B. C. 3D. 8. 已知，则A. B. C. D. 9. 已知是定义在R上
2、的奇函数，且当时，则A. B. C. D. 1510. “弯弓射雕”描述的是游牧名族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒时弓箭距离地面的高度为x米，可由确定，已知射箭3秒是弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为A. 135米B. 160米C. 175米D. 180米11. 已知函数的定义域为R，对于任意，都满足，且对于任意的a，当时，都有，若，则实数x的取值范围是A. B. C. D. 12. 已知函数，两者的定义域都是I，若对于任意，存在，使得，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为A. 3B. C. D
3、. 13二、填空题（本大题共4小题）13. 若集合，且，则实数m的取值范围为_14. 已知函数在R上为偶函数，且，时，则当时，_15. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是_16. 已知，函数，若对于任意的，恒成立，则实数a的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题）17. 已知，化简：；求值：18. 设，若，求；若，求实数a的取值范围19. 已知函数是奇函数求实数m的值；求证：函数在上是单调增函数20. 甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元甲、乙两商场销售方武如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减
4、少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的销售分别写出在甲、乙两商场购买x双运动鞋所需费用的函数解析式和某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？21. 已知函数当时，作出函数的图象；是否存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，若存在求出a的值；若不存在，请说明理由22. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足；在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”求证：是函数的一个“优美区间”求证：函数不存在“优美区间”已知函数有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值答案和解析1.【答案】C【解析】解：2，4，6，的子集个数为个
5、故选：C进行交集的运算即可求出，从而得出的元素个数为2，进而得出的子集个数为个本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】B【解析】解：由题意可知，解可得，即函数的定义域为故选：B根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目3.【答案】A【解析】解：由题意得：，故选：A推导出，从而，由此能求出结果本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.【答案】C【解析】解：由得，此时，即函数过定点，故选：C
6、根据指数函数的性质，令幂指数为0，进行求解即可求出定点坐标本题主要考查指数函数过点定点的性质，利用的性质是解决本题的关键比较基础5.【答案】B【解析】解：函数是连续函数，根据零点存在定理，可得函数的零点所在的大致区间是 故选：B确定，根据零点存在定理，可得结论本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题6.【答案】D【解析】解：定义域，排除A，C；当时，为减函数，故排除B，故选：D先由定义域，排除A，C；再根据时，为减函数，故排除B，选D本题考查了对函数图象，通过对函数性质的探究，排除不合题意的选项，可得出正确结果，属于中档题7.【答案】D【解析】解：设幂函数，其图象过点，则，所以；所
7、以故选：D设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出的解析式，再计算的值本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题8.【答案】A【解析】解：，故选：A利用对数函数和指数函数的单调性求出a，b，c的范围，从而比较出大小本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用9.【答案】C【解析】解：是定义在R上的奇函数，且当时，则故选：C由，结合已知代入即可求解本题主要考查了利用奇函数定义求解函数值，属于基础试题10.【答案】D【解析】解由题意可知，当，代入可得，解可得，根据二次函数的性质可知，开口向下，对称轴，故当时，函数取得最大值180故选：D把，代入
8、已知函数可求a，然后根据二次函数的性质即可求解本题主要考查了二次函数的最值的求解，属于基础试题11.【答案】D【解析】解：根据题意，函数的定义域为R，对于任意，都满足，即函数为偶函数，对于任意的a，当时，都有，即在区间上为减函数，又由为偶函数，则在上增函数，故，解可得：或，即不等式的解集为；故选：D根据题意，分析可得为偶函数且在上增函数，进而分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题12.【答案】C【解析】解：，当且仅当，即时，等号成立在处取得最小值3；又与是定义在区间上的“兄弟函数”，在处取得最小值3；函数在区间的最大值为
9、故选：C化简由基本不等式可判断在处取得最小值3；从而可知在处取得最小值3，再由二次函数的顶点式写出，从而求函数的最大值本题考查函数的最值，考查新定义，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题13.【答案】【解析】解：由题意可知，且，即故答案为：由题意可知，然后结合集合的包含关系即可求解本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础试题14.【答案】【解析】解：设则，在R上为偶函数，且，时，故答案为：先设则，根据在R上为偶函数，且，时，代入即可求解本题考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，属于基础题15.【答案】【解析】解：当时，在上是单调递增函数，符合题意，当时，结合二次函数的性质
10、可知，解可得，综上可得，a的范围为故答案为对a的值是否为0进行分类讨论，分别结合一次函数与二次函数的单调性即可求解本题主要考查了函数单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用16.【答案】【解析】解：时，化为：，时，化为：，综上可得：实数a的取值范围是故答案为：根据分段函数，通过分离参数，利用二次函数的单调性即可得出实数a的取值范围本题考查了函数的单调性、分段函数的性质、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17.【答案】解：，；，【解析】结合已知及根式的几何意义即可化简求值，结合对数的运算性质及对数恒等式即可进行化简本题考查的知识点是指对数的运算性质，熟练掌握指数与对数的运算性质是解答
11、对数化简求值类问题的关键18.【答案】解：，【解析】由，可求，然后求解A，结合集合的基本运算可求，由，可得，结合集合的包含关系即可求解本题主要考查集合的基本运算，比较基础19.【答案】解：法一：解：定义域为，是奇函数，对于定义域内的任意x恒成立，该式对于定义域中的任意x都成立，即，法二：定义域为，是奇函数，解得，检验：当时，定义域为关于原点对称，是奇函数，证明：在内任取，在上单递增【解析】法一：根据奇函数的性质可知恒成立，代入即可求解m；法二：由是奇函数，可知，代入可求m根据单调性的定义即可判断在区间上的单调性并证明本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键20.【答案】
12、解：由可得当且时，去甲商场购买的单价为元，当且时，去甲商场购买的单价为440元去乙商场购买单价一直为元，当且时，；当且时，由解得且；由解得；由解得且，综上：当且时，；当时，；当且时，答：，若单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少【解析】当且时，去甲商场购买的单价为元，当且时，去甲商场购买的单价为440元去乙商场购买单价一直为元然后列出函数的解析式；通过当且时，；当且时，推出当且时，；当时，；当且时，得到结论本题考查实际问题的处理方法，分段函数的应用没看出分析问题解决问题的能力，是中档题21.【答案】解：当时，假设存在实数a
13、，使得函数在区间上有最小值8，当时，对称轴方程为，在上单调递增，当时，不可能有最小值舍去，当时，对称轴方程为，当即时，又，舍去当即时，综上：或【解析】去掉绝对值符号，化简函数为分段函数，然后画出函数的图象即可假设存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，当时，求解，推出当时，说明不可能有最小值舍去，当时，当时，没有a满足题意；当时，可求出本题考查函数与方程的综合应用，考查分类讨论思想的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及计算能力，是难题22.【答案】解：在区间上单调增又，值域为，区间是的一个“优美区间”设是已知函数定义域的子集，或，函数在上单调递减若是已知函数的“优美区间”，则，由得：，代入等式不成立，函数不存在优美区间设是已知函数定义域的子集，或，函数在上单调递增若是已知函数的“优美区间”，则，、n是方程，即的两个同号且不等的实数根，n同号，只须，即或，当时，取最大值【解析】通过在区间上单调增利用新定义判断即可利用新定义是已知函数的“优美区间”，推出，转化求解即可设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明m、n是方程的两个同号且不等的实数根转化求解取最大值本题考查新定义的应用，函数椭圆方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题
