1、高考资源网（） 您身边的高考专家32空间向量的应用32.1直线的方向向量与平面的法向量1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.会求直线的方向向量及平面的法向量3能用向量语言表示空间线、面之间的位置关系1直线l的方向向量我们把直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量提醒(1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：不能为零向量；与该直线平行或重合(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个(3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定惟一一条过点A且平行于向量a的直线(4)表示同一条直线的方向向量，由于它
2、们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n，此时，我们把向量n叫做平面的法向量1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反()(2)平面的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量()(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行()(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直()答案：(1)(2)(3)(4)2若A(1，0，1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向
3、量是()A(2，2，6)B(1，1，3)C(3，1，1) D(3，0，1)答案：A3若平面，且平面的一个法向量为n，则平面的法向量可以是_答案：(1，2，0)(答案不惟一)4若直线的方向向量为u1，平面的法向量为u2(3，2，z)，则当直线与平面垂直时z_答案：直线的方向向量的应用设a、b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1、l2的位置关系：(1)a(1，2，1)，b(3，6，3)；(2)a(1，2，2)，b(2，3，2)【解】(1)因为(3，6，3)3(1，2，1)，所以b3a，所以l1l2或l1与l2重合(2)因为ab(1，2，2)(2，3，2)(1)2(2)(3)2(
4、2)0，所以ab，所以l1l2.利用直线的方向向量可以判断两条直线的平行、垂直关系：设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，则l1l2(或l1与l2重合)abakb；l1l2ab0. 1.根据下列条件，判断l1与l2的位置关系：(1)直线l1与l2的方向向量分别是a(2，3，1)，b(6，9，3)；(2)直线l1与l2的方向向量分别是a(2，1，4)，b(6，3，3)解：(1)因为a(2，3，1)，b(6，9，3)，所以ab，所以ab，所以l1l2或l1与l2重合(2)因为a(2，1，4)，b(6，3，3)，所以ab0且akb(kR)所以a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面求给定坐标
5、系下的平面的法向量已知平面经过三点A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，试求平面的一个法向量【解】因为A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，所以(1，2，4)，(2，4，3)， 设平面的法向量为u(x，y，z)，依题意，有即解得令y1，则x2.所以平面的一个法向量为u(2，1，0)用待定系数法求平面法向量的步骤 2.已知三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的单位法向量为_解析：设平面ABC的单位法向量为n(x，y，z)，由已知得(0，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，因为n与，都垂直，所以zy0，yx0，xz0，所以xy
6、z，又因为|n|1，所以1，解得n或n.答案：或先建系再求法向量正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，试建立适当的坐标系，求平面A1AD的一个法向量【解】取BC的中点O、B1C1的中点O1，连结AO、OO1，易证AO平面BCC1B1.以O为原点，以向量、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(1，1，0)，A(0，0，)，A1(0，2，)所以(1，1，)，(0，2，0)设平面A1AD的法向量为n(x，y，z)由n平面A1AD，得n，n，所以令z1，可得n(，0，1)因此，n(，0，1)为平面A1AD的一个法向量平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可
7、以先确定平面的法线，再取它的方向向量也可以直接设定向量与平面内的两条相交直线垂直，从而得到平面的法向量 3.已知正方体AC1的棱长为1，试建立适当的坐标系，并写出下列平面的一个法向量(1)平面ABCD；(2)平面ADD1A1；(3)平面ABC1D1；(4)平面A1BC1.解：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(1)因为DD1平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为(0，0，1)(2)因为DC平面ADD1A1，所以平面ADD1A1的一个法向量为(0，1，0)(3)因为A1DAD1，A1DAB，所以A1D平面ABC1D1，所以平面ABC1D1的一个法向量为(1，
8、0，1)(4)因为A1C1平面BB1D1D，所以A1C1DB1.同理A1BDB1.所以DB1平面A1BC1.所以平面A1BC1的一个法向量为(1，1，1)1对直线的方向向量与平面的法向量理解的注意点(1)直线的方向向量与平面的法向量是表示直线与平面方向的，它们不能确定直线与平面(2)一条给定的直线的方向向量有无数个，它们都是共线的；一个给定的平面的法向量有无数个，它们也都是共线的(3)给定一个点A和一个向量a，过点A以向量a为方向向量的直线是完全确定的，过点A以向量a为法向量的平面也是完全确定的2求平面法向量的常见类型及求法(1)已知平面内三个不共线的点的坐标，求这三个点确定的平面的法向量(2
9、)一个几何体中存在线面垂直关系，在建立空间直角坐标系后，平面的垂线的方向向量即为平面的法向量(3)平面法向量的确定通常有两种方法：直接寻找：几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直即可待定系数法：当几何体中没有具体的直线可作为法向量时，根据已知平面内两条相交直线的方向向量，可以根据待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系)1在正方体ABCDA1B1C1D1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A1B1CD的法向量的是_答案：(不惟一)2设l1的方向向量a(1，2，2)，l2的方向向量b(2，3，m)，若l1l2，则m_答案：23已知A(1，0，0)、B(0，1，
10、0)、C(0，0，1)，则平面ABC的单位法向量是_答案：或 A基础达标1下列说法中不正确的是()A平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a，b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量答案：D若n(2，3，1)是平面的一个法向量，下列所给向量中，能作为平面的法向量的是()A(0，3，1)B(2，0，1)C(2，3，1)D(2，3，1)解析：选D.所有与n(2，3，1)共线的向量都是平面的法向量，只有D项与n(2，3，1)共线3已知a，b分别是直线l1，l2的一个方向向量若l1l2，则()Ax3，y
11、Bx，yCx3，y15 Dx3，y解析：选D.因为l1l2，所以，所以x3，y，故选D.4已知平面内有一个点A(2，1，2)，的一个法向量为n(3，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1，1) B.C. D.解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0，因此，要对各个选项进行检验对于选项A，(1，0，1)，则n(1，0，1)(3，1，2)50，故排除A；对于选项B，则n(3，1，2)0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.已知A(1，1，1)，B(2，3，1)，则直线AB的模为1的方向向量是_解析：(1，2，2)，|3，直线AB的模为1的方
12、向向量是(1，2，2)答案：，若A，B，C是平面内的三点，设平面的一个法向量a(x，y，z)，则xyz_解析：因为，a0, a0，所以故所以xyzyy23(4)答案：23(4)若直线a和b是异面直线，它们的方向向量分别是(1，1，1)和(2，3，2)，则直线a和b的公垂线的一个方向向量是_解析：设公垂线的一个方向向量是(x，y，z)，则有(x，y，z)(1，1，1)0且(x，y，z)(2，3，2)0，即令x1，得y4，z5.答案：(1，4，5)(答案不惟一)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E为AB的中点，试建立适当的坐标系，并求平面CD1E的一个法向量解：如图
13、，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)所以E(1，1，0)所以(1，1，0)，(0，2，1)设平面CD1E的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.所以所以令y1，则x1，z2.所以平面CD1E的一个法向量为(1，1，2)已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，2)(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面经过点A，且BC是的法向量，M(x，y，z)是平面内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式解：(1)因为B(2，0，0)，C(0，2，2)，所以(2，2，2)，即(2，2，2)为直线BC的一个方向向量(2)由题意(x
14、2，y2，z2)，因为平面，AM，所以.所以(2，2，2)(x2，y2，z2)0.所以2(x2)2(y2)2(z2)0.化简得xyz20. B能力提升已知直线l1的方向向量为a(2，4，x)，直线l2的方向向量为b(2，y，2)，若|a|6，且ab，则xy的值是_解析：因为|a|6，所以416x236，即x4，当x4时，a(2，4，4)，由ab0得44y80，解得y3，此时xy431；当x4时，a(2，4，4)，由ab0得44y80，解得y1，此时xy413.综上，得xy3或1.答案：3或1已知(1，5，2)，(3，1，z)，(x1，y，3)，若，且平面ABC，则等于_解析：013512z0z
15、4，平面ABC所以.答案：如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，试建立适当的坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量解：因为AD、AB、AS是两两垂直的线段，所以建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，所以，.由题意，易知向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SCD的法向量，则即令x2，则y1，z1，所以平面SCD的一个法向量为(2，1，1)(选做题)如图所示，四棱锥VABCD，底面ABCD为正方形，VA平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，(1)求直线AB的方向向量；(2)求证：BD平面VAC，并确定平面VAC的法向量解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有：、四个(2)因为底面ABCD为正方形，所以BDAC.因为VA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDVA，又ACVAA，所以BD平面VAC，所以平面VAC的法向量有、两个高考资源网版权所有，侵权必究！
