1、 一题多解专题七：利用基本不等式求最值 用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键.此外，若两次连用均值不等式，要注意取等号的条件的一致性，否则可能会出错.因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立的条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.例、已知正数a,b满足，求的取值范围。思路点拨：一种思路是根据
2、划归思想，二元转化为一元，即利用将中的b 用a表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对变形，获得 与ab的关系，然后利用解不等式消去ab建立的不等式求解.解析：方法一：由得，由于a0,b0，可得， 于是 ， 当，即时取等号，的取值范围是 方法二：由得. 又， 所以，即4(a+b)，所以， 即的取值范围是 方法三：由得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围是 方法四：由得 （1） 设，则，代入（1）式得 整理得，又由得， 即方程在上有解， 令，则 解得， 所以的取值范围是 运用基本不等式求最值的技巧： 1、含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一 个
3、变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后， 在运用基本不等式。 2、妙用“1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通 常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常 数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本 不等式求最值. 针对性练习：1.已知a0,b0,则a+2b的最小值为( ) (A) (B) (C) (D)14 解析：选A. a+2b的最小值为2.若-4x1，则( ) (A)有最小值1 (B)有最大值1 (C)有最小值-1 (D)有最大值-1 解析：选D. 又-4x1,
4、x-10,-(x-1)0. 当且仅当即x=0时，等号成立.故选D.3. 已知点P(x，y)在直线x+y-4=0上，则2x+2y的最小值为_. 解析】点P(x,y)在直线x+y-4=0上，x+y=4 (当且仅当x=y=2时等号成立).4.已知0x1，则的最大值为_. 解析】0x1，lgx0，-lgx0. 即y-4. 当且仅当时等号成立，故ymax=-4.5.已知函数 (1)求的取值范围； (2)当x为何值时，y取何最大值？ 解析】(1)设x+2=t,x=t-2,t0(x-2), 则 所求范围为 (2)欲使y最大，必最小， 此时 当时，y取最大值为6.已知a0,b0，a+b=2,则的最小值是( )
5、 (A) (B)4 (C) (D)5 解析】选C.由已知可得， 当且仅当时取等号，即的最小值是.7.若a0,b0,且a+b=1，则ab+的最小值为( ) (A)2 (B)4 (C) (D) 解析】选C.由a+b=1，a0,b0得 令ab=t,则0t,则，结合函数的图象可知t+在(0,上单 调递减，故当t=时,t+有最小值为+4=.8.已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为( ) (A)5 (B)7 (C)8 (D)9 解析】选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2(m-2)(2n-2)=3， 因此于是 所以 当且仅当即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7.
