1、13全称量词与存在量词13.1量词13.2含有一个量词的命题的否定1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义2.会判断全称命题和存在性命题的真假3能正确的对含有一个量词的命题进行否定1全称量词与全称命题(1)全称量词“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”(2)全称命题含有全称量词的命题称为全称命题全称命题的形式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为：xM，p(x)其中M为给定的集合，p(x)是一个含有x的语句2存在量词与存在性命题(1)存在量词“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表示
2、“存在x”(2)存在性命题含有存在量词的命题称为存在性命题存在性命题的形式：“存在集合M中的元素x，p(x)”的命题，记为：xM，p(x)其中M为给定的集合，p(x)是一个含有x的语句3全称命题的否定全称命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”，即“xM，p(x)”的否定为“xM，綈p(x)”4存在性命题的否定存在性命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”，即“xM，p(x)”的否定为“xM，綈p(x)”1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词()(2)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词()(3)写存在性
3、命题的否定时，存在量词变为全称量词()(4)xM，p(x)与xM，綈p(x)的真假性相反()答案：(1)(2)(3)(4)2下列命题中，不是全称命题的序号是()A任何一个实数乘以0都等于0B自然数都是正整数C每一个向量都有大小D一定存在没有最大值的二次函数答案：D3下列存在性命题是假命题的序号是()A存在xQ，使2xx30B存在xR，使x2x10C有的质数是偶数D有的有理数没有倒数答案：B4命题p：“xR，x212x”的否定綈p：_；綈p为_命题(填“真”或“假”)答案：xR，x212x真全称命题与存在性命题的判断判断下列语句是全称命题还是存在性命题，并判断真假(1)有一个实数，tan 无意义
4、；(2)任何一条直线都有斜率吗？(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)圆内接四边形，其对角互补；(5)指数函数都是单调函数【解】(1)存在性命题时，tan 不存在，所以存在性命题“有一个实数，tan 无意义”是真命题(2)不是命题(3)含有全称量词，所以该命题是全称命题又任何一个圆的圆心到其切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题(4)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题(5)虽然不含量词，其实“指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题判定
5、一个语句是全称命题还是存在性命题的三个步骤(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或存在性命题 (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是存在性命题(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质1.判断下列语句是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360；(2)有的向量方向不定；(3)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直解：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360”，故为全称命题(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题(3)含有存在量词“有一
6、个”，故为存在性命题(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题全称命题与存在性命题的否定写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2xm0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2x10；(3)r：等圆的面积相等，周长相等；(4)s：对任意角，都有sin2cos21.【解】(1)这一命题可以表述为p：对所有的实数m，方程x2xm0有实数根其否定形式是綈p：存在实数m，使得x2xm0没有实数根注意到当14m0，即m0.利用配方法可以证得綈q是一个真命题(3)这一命题的否定形式是綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等由平面几何知识知綈r是一个假命题(
7、4)这一命题的否定形式是綈s：存在R，使sin2cos21.由于命题s是真命题，所以綈s是假命题(1)一般而言，全称命题的否定是一个存在性命题，存在性命题的否定是一个全称命题因此，在叙述命题的否定时，要注意量词间的转换(2)注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质如“三角形有外接圆”的本质应为“所有三角形都有外接圆”，因此，其否定为“存在一个三角形没有外接圆” 2.写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和大于180；(4)p：有的四边形没有外接圆解：(1)綈p：存在一个末
8、位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题(2)綈p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题(3)綈p：任何三角形，它的内角和不大于180，真命题(4)綈p：所有四边形都有外接圆，假命题利用全称命题和存在性命题求参数的取值范围x1，2，使4x2x12a0恒成立，求实数a的取值范围【解】已知不等式化为：22x22x2a0，令t2x，因为x1，2，所以t，则不等式化为：t22t2at22t2, 原命题等价于：t，at22t2恒成立，令yt22t2(t1)21，当t时，ymax10.所以只需a10即可即所求实数a的取值范围是(10，)本例改为：x1，2，使4x2x12a0成立，求实数a的取值范围解：已知
9、不等式化为：22x22x2a0，令t2x，因为x1，2，所以t，则不等式化为：t22t2at22t2，原命题等价于t，使at22t2成立令yt22t2(t1)21，当t时，ymin1.所以只需a1即可所以a的取值范围为(1，)(1)解答本题利用了函数思想，对于此类“恒成立”问题即全称命题的问题，多采用函数思想(2)求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称命题“xM，af(x)(或af(x)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即af(x)max(或af(x)min)对于存在性命题“xM，af(x)(或af(x)”为真的问题，实质就是不等式能成立
10、问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即af(x)min(或af(x)max) 3.对于任意实数x，不等式sin xcos xm恒成立求实数m的取值范围解：令ysin xcos x，xR，则ysin xcos xsin， ，因为xR，sin xcos xm恒成立，所以只要m1”的否定是_【解析】“存在实数x，使x1”的否定是“对任意实数x，都有x1”【答案】对任意实数x，都有x1 (1)本题易误把“存在”否定为“不存在”，而“存在”的否定其实是“任意”(2)忽略x1的否定(3)解决对含有一个量词的命题进行否定的问题时，有以下几点需注意：正确理解含有一个量词的命题的否定的含义，从整
11、体上把握，明确其否定的实质记住一些常用的词语的否定形式及其规律1以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是()A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x0，使x0C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x0，使2答案：B2已知命题p：xR，x22xa0.若p为真命题，则实数a的取值范围是()A(1，) B(，1)C1，) D(，1解析：选B.依题意不等式x22xa0对xR恒成立，所以必有44a0，解得a1.3命题“零向量与任意向量共线”的否定为_答案：有的向量与零向量不共线 A基础达标1存在性命题“存在实数x0，使x10BxR，x210Cx0R，x10 D以上都不正确解析：选C.存在性命题
12、中“存在”可用符号“”表示，故选C.2下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A对任意的a，bR，都有a2b22a2b20B菱形的两条对角线相等CxR，xD对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A中的命题是全称命题，但是a2b22a2b2(a1)2(b1)20，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.3命题“xR，|x|x20”的否定是()AxR，|x|x20BxR，|x|x20Cx0R，|x0|x0 Dx0R，|x0|x0解析：选C.命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“xR，|x
13、|x20”的否定为“x0R，|x0|xxa对xR都成立，则a的取值范围是_解析：法一：不等式x2xxa对xR都成立，即不等式x22xa0恒成立；结合二次函数图象得其0，即44a1.法二：不等式x2xxa对xR都成立，也可看作ax22x对xR都成立，所以a(x22x)max；而二次函数f(x)x22x的最大值为1，所以a1.答案：a18下列命题中的真命题的个数是_xR，使得sin xcos x；x(，0)，2xcos x.解析：因为xR，sin xcos x；x(，0)，2x3x；sincos，所以都是假命题答案：09判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的xR
14、，x2x10都成立；(2)p：xR，x22x50.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p：存在一个xR，使x2x10成立，即“xR，使x2x10成立”；(2)由于“xR”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p：对任意一个x都有x22x50，即“xR，x22x50”10判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)，R，sin()sin sin ；(2)x0，y0Z，3x04y020；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解解：(1)当0时，si
15、n()sin sin ，故命题为假命题命题的否定为：0，0R，sin(00)sin 0sin 0.(2)真命题命题的否定为：x，yZ，3x4y20.(3)真命题命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解B能力提升1已知函数f(x)|2x1|，若命题“x1，x2a，b且x1x2，使得f(x1)f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是()Aa0 Ba0Cb0 Db1解析：选B.函数f(x)|2x1|的图象如图所示由图可知f(x)在(，0上为减函数，在(0，)上为增函数，所以要满足x1，x2a，b且x1x2，使得f(x1)f(x2)为真命题，则必有a0，故选B.2已知命题p：xR，ax
16、22x30，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是_解析：因为命题綈p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax22x30对一切xR恒成立，这时就有解得a，因此当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时，实数a的取值范围是a.答案：a3已知p：|3x4|2，q：0，求綈p和綈q对应的x值的集合解：设命题p中的元素组成的集合为M，那么对命题p的否定綈p组成的集合就是M的补集由p：|3x4|2，得p：x2，所以綈p：x2，即綈p：；由q：0，得q：x2，所以綈q：1x2，即綈q：x|1x24(选做题)已知函数f(x)x2ax2.(1)x1，)，都有f(x)0，求实数a的取值范围；(2)x(1，)，f(x)0x2ax20，又x1，所以xa(x1，)，设g(x)x(x1，)，依题意得g(x)1，故实数a的取值范围是(1，)(2)f(x)0x2ax21，所以xa，x(1，)，设g(x)x(x(1，)，依题意得g(x)a在(1，)上有解，从而g(x)maxa.由g(x)在(1，)上是减函数，所以g(x)g(1)1，因此a1，故实数a的取值范围是(，1)
