1、知识导图 学法指导 学习本节知识的过程中，一方面要把握好性质定理的条件(切不可漏掉某个条件)和结论，根据结论来找条件；另一方面要熟练掌握平行关系的转化，根据题目的条件和结论，巧妙地实现线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化高考导航 本节知识在高考中若出现在选择题、填空题中，则难度不大，分值 5 分；若出现在解答题中，则常利用线面平行、面面平行的性质定理得到线线平行，再进一步证明其他问题.知识点一 直线与平面平行的性质文字语言一条直线与一个平面平行，则_的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a _ _ab图形语言 ab过这条直线定理中有三个条件：直线 a 和平面 平行，即 a；直线a
2、在平面 内，即 a；平面，相交，即 b.三个条件缺一不可知识点二 平面与平面平行的性质文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面_，那么它们的交线_符号语言 _ _ab图形语言相交平行ab1已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线2该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面小试身手1判断下列命题是否正确.(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线 a平面，直线 a直线 b，则直线 b平面.()(2)若直线 a平面，则直线 a 与平面 内
3、任意一条直线都无公共点()(3)若，则平面 内有无数条互相平行的直线平行于平面.()2平面 与ABC 的两边 AB，AC 分别交于点 D，E，且 ADDBAEEC，如图，则 BC 与 的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.异面解析：因为 ADDBAEEC，所以 DEBC，又 DE，BC，所以 BC.答案：A3过平面外一条直线作已知平面的平行平面()A必定可以并且可以作一个 B至少可以作一个C至多可以作一个D一定不能作解析：直线与平面相交时，平行的平面不存在；直线与平面平行时，平行的平面唯一答案：C4如图，CD，EF，AB，AB，则 CD与 EF 的位置关系为_解析：由线面平行的性质
4、得，ABCD，ABEF，由公理 4 得CDEF.答案：平行类型一 线面平行的性质定理的应用例 1 如图所示，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 是 PC 的中点，在 DE 上任取一点 F，过点 F 和 AP 作平面 PAGF交平面 BDE 于 FG，求证：APGF.【证明】如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE，四边形 ABCD 为平行四边形，点 O 是 AC 的中点，又 E 是 PC 的中点，APOE.AP平面 BDE，OE平面 BDE，AP面 PAGF，AP平面 BDE.平面 PAGF平面 BDEGF，APGF.要证 APGF，根据线面平行的性质定理，只需证
5、 AP平面BDE，即只需证 AP 与平面 BDE 内的某一条直线平行方法归纳(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”跟踪训练 1 如图所示，已知两条异面直线 AB 与 CD，平面MNPQ 与 AB，CD 都平行，且点 M，N，P，Q 依次在线段 AC，BC，BD，AD 上，求证：四边形 MNPQ 是平行四边形证明：AB平面 MNPQ，且过 AB 的平面 ABC 交平面
6、 MNPQ于 MN，ABMN.又过 AB 的平面 ABD 交平面 MNPQ 于 PQ，ABPQ，MNPQ.同理可证 NPMQ.四边形 MNPQ 为平行四边形AB平面 MNPQ，CD平面 MNPQMNPQ，NPMQ四边形 MNPQ 是平行四边形 类型二 面面平行性质定理的应用例 2 如图所示，已知三棱柱 ABCABC中，D 是 BC的中点，D是 BC的中点，设平面 ADB平面 ABCa，平面 ADC平面 ABCb，判断直线 a，b 的位置关系，并证明【解析】直线 a，b 的位置关系是平行如图所示，连接 DD.平面 ABC平面 ABC，平面 ADB平面 ABCa，平面 ADB平面 ABCAD，AD
7、a.同理可证 ADb.又 D 是 BC 的中点，D是 BC的中点，DD綊 BB，又 BB綊 AA，DD綊 AA，四边形 AADD 为平行四边形，ADAD，ab.由 ABCA B C 为三棱柱，得平面 ABC平面 A B C，若第三个平面与它们相交，则交线平行方法归纳 面面平行性质定理的两个主要应用(1)证明线线平行：利用面面平行的性质定理推出线线平行(2)判断线面平行：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面跟踪训练 2 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD为梯形，ADBC，平面 A1DCE 与 B1B 交于点 E.求证：ECA1D.证明：因为
8、 BEAA1，AA1平面 AA1D，BE平面 AA1D，所以 BE平面 AA1D.因为 BCAD，AD平面 AA1D，BC平面 AA1D，所以 BC平面 AA1D.因为 BEBCB，BE平面 BCE，BC平面 BCE，所以平面 BCE平面 AA1D.又因为平面 A1DCE平面 BCEEC，平面 A1DCE平面 AA1DA1D，所以 ECA1D.线线平行线面平行面面平行线线平行类型三 平行关系的综合应用例 3 如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，P，Q 分别是 BC，C1D1，AD1，BD 的中点(1)求证：PQ平面 DCC1D1；(2)求 PQ 的长；(3)求证
9、：EF平面 BB1D1D.【解析】(1)法一 如图，连接 AC，CD1.因为 P，Q 分别是 AD1，AC 的中点，所以 PQCD1.又 PQ平面 DCC1D1，CD1平面 DCC1D1，所以 PQ平面 DCC1D1.法二 取 AD 的中点 G，连接 PG，GQ，则有 PGDD1，PG平面 DCC1D1，DD1平面 DCC1D1，所以 PG平面 DCC1D1，同理 GQ平面 DCC1D1，又 PGGQG，PG平面 DCC1D1，GQ平面 DCC1D1，所以平面 PGQ平面 DCC1D1.又 PQ平面 PGQ，所以 PQ平面 DCC1D1.(2)由(1)易知 PQ12D1C 22 a.(3)法一
10、 取 B1D1 的中点 O1，连接 FO1，BO1，则有 FO1 綊12B1C1.又 BE 綊12B1C1，所以 BE 綊 FO1.所以四边形 BEFO1 为平行四边形，所以 EFBO1，又 EF平面 BB1D1D，BO1平面 BB1D1D，所以 EF平面 BB1D1D.法二 取 B1C1 的中点 E1，连接 EE1，FE1，则有 FE1B1D1，FE1平面 BB1D1D，B1D1平面 BB1D1D，所以 PE1平面 BB1D1D，同理 EE1平面 BB1D1D，又 FE1EE1E1，所以平面 EE1F平面 BB1D1D.又 EF平面 EE1F，所以 EF平面 BB1D1D.线面平行、面面平行
11、的性质定理的应用，往往需要通过“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知条件联系起来方法归纳(1)证明线面平行的方法有“线线平行线面平行”或“线线平行线面平行面面平行线面平行”(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化跟踪训练 3 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，且 PA3.F 在棱 PA 上，且 AF1，E 在棱 PD 上若 CE平面 BDF，求 PEED 的值解析：过点 E 作 EGFD 交 AP 于点 G，连接 CG，连接 AC交 BD 于点 O，连接 FO.因为 EGFD，EG平面 BDF，FD平面 BDF，所以 EG平面 BDF，又 CE平面 BDF，EGCEE，EG平面 CGE，CE平面 CGE，所以平面 CGE平面 BDF，又 CG平面 CGE，所以 CG平面 BDF，又 CG平面 PAC，平面 BDF平面 PAC FO，所以 FOCG.又 O 为 AC 中点，所以 F 为 AG 中点，所以 FGGP1，所以 E 为 PD 中点，PE：ED：1.底面 ABCD 是平行四边形，CE平面 BDF 构造辅助平面与平面 BDF 平行，线面平行的性质定理.
