1、考纲要求考纲研读1.掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程2了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程3了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.1.能够利用的定义或待定系数法求椭圆、双曲线及抛物线的方程2能够利用相关点法、参数法等求动点的轨迹方程.第4讲 轨迹与方程 求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数(3)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(4)相关点法：动
2、点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程A双曲线B椭圆C圆D抛物线1已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项，则圆锥曲线 x2y2m1的离心率为()A.32 或 52B.32C.5D.32 或 52已知点 F14，0，直线 l：x14，点 B 是 l 上的动点若过 B 垂直于 y 轴的
3、直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M的轨迹是()DD 4在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_.5(2010年上海)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则P的轨迹方程为_.y28xy28x 3已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_(x10)2y236(y0)考点1 利用直接法求轨迹方程 例1：如图 1241 所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1，l2.若 l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨
4、迹方程解析：设点 M 的坐标为(x，y)，M 是线段 AB 的中点，图 1241A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)PA(2x2，4)，PB(2,2y4)求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系由已知PAPB0，2(2x2)4(2y4)0.即 x2y50.线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x2y50.则点 P 的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线1已知点 A(2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足PAPBx2，【互动探究】D考点2 利用定义法求
5、轨迹方程 例 2：(2011 年广东)设圆 C 与两圆(x 5)2y24，(x 5)2y24 中的一个内切，另一个外切(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程；(2)已知点 M3 55，4 55，F(5，0)，且 P 为 L 上动点，求|MP|FP|的最大值及此时点 P 的坐标图D20解析：(1)设 F(5，0)，F(5，0)，并设圆 C 的半径为 r，则|CF|CF|(2r)(r2)|4.又 4 143 5.P 点的横坐标应取 656 55，代入得其纵坐标为2 55.综上所述，|MP|FP|的最大值为 2，此时点 P 的坐标为6 55，2 55.求曲线的方程，然后利用圆锥曲线的定义或圆锥曲线中有
6、关几何元素的范围求最值(范围)是高考的一种基本模式广东试题(2011 年、2009 年即是如此)这样出题，一改直线与圆锥曲线联立这一传统，多少有些出乎意料，在备考时应予以关注【互动探究】2已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程图 D21 解：如图D21，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312.这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之差是常数 2.根
7、据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到C2 的距离大，到 C1 的距离小)这里 a1，c3，则 b28.设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2y281(x1)考点3 利用相关点法求轨迹方程例3：已知点 A 在圆 x2y216 上移动，点 P 为连接 M(8,0)和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方程解析：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为(x0，y0)因为点 A 在圆 x2y216 上，有 x20y2016.又因为 P 为 MA 的中点，有x8x02，y0y02.得x02x8，y02y.代入圆的方程得(2x8)2(2y)216，化简得(x4)2y24为
8、所求点P 为MA 的中点，点 M 为固定点，点A 为圆 上的动点，因此利用点P 的坐标代换点 A 的坐标，从而代入圆的方程求解，这种求轨迹方程的方法叫相关点法(也有资料称转移 法)【互动探究】3设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹解：设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为x2，y2，线段 MN 的中点坐标为x032，y042.平行四边形对角线互相平分，x2x032，y2y042.即x0 x3，y0y4.又当 M，N，O 三点共线时，不能作平行四边形MO 所在直线的方程为 y43x.联立方
9、程 x2y24，解得，x65，即 x065.x215 且 x95.点 N(x0，y0)在圆上，点 P 的轨迹方程为(x3)2(y4)24(x95且 x215)考点4 利用参数法求轨迹方程 例 4：(2011 年安徽)如图 1242，设 0，点 A 的坐标为(1,1)，点 B 在抛物线 yx2 上运动，点 Q 满足BQQA，经过点 Q 与 x轴垂直的直线交抛物线于点 M，点 P 满足QM MP，求点 P 的轨迹方程图1242解析：由QM MP知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设 P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则 x2y0(yx2)即 y0(1)x2y.再设
10、B(x1，y1)，由BQQA，得(xx1，y0y1)(1x，1y0)，解得x11x，y11y0.将式代入式，消去 y0，得x11x，y112x21y.又点B在抛物线yx2上，所以y1x21.再将式代入y1x21，得(1)2x2(1)y(1)x2(1)2x2(1)y(1)2x22(1)x22(1)x(1)y(1)0.因0，两边同除以(1)，得2xy10.故所求点P的轨迹方程为y2x1.1如果问题中涉及平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化2在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”、“数形结合”、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式”、“求变量范围构造不等关系”等等3如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化1能用定义法求轨迹方程可以减少大量的运算，因此对椭圆、双曲线、抛物线的定义要理解透彻2利用参数法求轨迹方程要注意参数的范围，要注意转化的等价性
