1、考纲要求考纲研读1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质2理解数形结合的思想.1.能利用定义法或待定系数法求抛物线的方程2利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离进行转化3综合应用抛物线和直线的有关知识，通过直线与抛物线的位置关系解答相应问题.第3讲 抛物线 1抛物线的定义平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距离_的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的_，定直线为抛物线的_相等焦点准线2抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p0)标准方程y22pxy22pxx22pyx22py图形焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2准线xp2xp
2、2yp2yp2范围x0，yRx0，yRxR，y0 xR，y0对称轴x 轴y 轴顶点(0,0)离心率e11抛物线 y4x2 的准线方程是()D2(2011 年深圳高级中学第二次考试)抛物线 yx2 的焦点坐标为()DAx1 By1 Cx 116Dy 116A.14，0 B.12，0 C.0，12 D.0，14 3经过点(3,2)的抛物线标准方程为_；对应的准线方程为_.y243x(或 x292y)x13或y984在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y24x 上的点 P 到该抛物线的焦点的距离为 6，则点 P 的横坐标_.5若抛物线 y22px 的焦点与双曲线x23y21 的右焦点重合，则 p
3、 的值_.54考点1 抛物线的标准方程 例 1：已知抛物线焦点在 x 轴上，其上一点 P(3，m)到焦点距离为 5，则抛物线标准方程为()BAy28x By28x Cy24x Dy24x解析：已知抛物线焦点在 x 轴上，其上有一点为 P(3，m)，显然开口向左，设 y22px，由点 P(3，m)到焦点距离为 5 知，点 P(3，m)到准线距离也为 5，即 3p25，p4，标准方程为 y28x.焦点在直线 x2y40 上的抛物线标准方程为_对应的准线方程为_解析：令 x0 得 y2，令 y0 得 x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，p24，p8，此时抛物线方程 y21
4、6x.焦点为(0，2)时p22，p4，此时抛物线方程 x28y.所求抛物线方程为 y216x 或 x28y，对应的准线方程分别是 x4 或 y2.x4(或y2)y216x(或x28y)第(1)利用抛物线的定义直接得出 p 的值可以减少运算；第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解【互动探究】1(2011 年广东)设圆 C 与圆 x2(y3)21 外切，与直线 y0 相切，则 C 的圆心轨迹为()AA抛物线C椭圆B双曲线D圆解析：依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线y1 的距离相等，则 C 的圆心轨迹为抛物线考点2 抛物线的
5、几何性质 例2：如图 1231，已知抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标解题思路：由抛物线的定义知，点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 的距离又因为点 P 在抛物线内部，所以当 PA 垂直准线时，交点P 即为所求点图1231解析：将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6.62，A 在抛物线内部设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为 d，由定义知|PA|PF|PA|d.当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2
6、2x，得 x2，点 P 坐标为(2,2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，注意灵活应用【互动探究】2(2011 年山东)设 M(x0，y0)为抛物线Cx28y上一点，F为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是()CA(0,2)C(2，)B0,2D2，)解析：根据x28y，所以F(0,2)，准线y2.所以F到准线的距离为4.当以F为圆心、以|FM|为半径的圆与准线相切时，|MF|4，即M到准线的距离为4，此时y02.所以显然当以F为圆心，以|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交时，y0(2，)3已知点 P 在抛
7、物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为()AA.14，1B.14，1C(1,2)D(1，2)考点3 直线与抛物线的位置关系例 3：(2011 年安徽合肥检测)已知抛物线 y24x，过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且直线 l 与 x 轴交于点 C.(1)求证：|MA|、|MC|、|MB|成等比数列；(2)设MAAC，MBBC，试问 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由解析：(1)设直线 l 的方程为：ykx2(k0)，联立方程可得ykx2，y24x，得 k2x2(4k4)x40，设
8、 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C2k，0，则 x1x24k4k2，x1x24k2.|MA|MB|1k2|x10|1k2|x20|41k2k2，而|MC|22k0 2(02)241k2k2.|MC|2|MA|MB|0.即|MA|、|MC|、|MB|成等比数列(2)由MAAC，MBBC得，(x1，y12)x12k，y1，(x2，y22)x22k，y2，即得：kx1kx12，kx2kx22.则 2k2x1x22kx1x2k2x1x22kx1x24.把(1)中代入得 1.故 为定值且定值为1.本题主要考查直线与抛物线的位置关系，涉及的点很多，涉及的字母也很多(k，x1，y1，x2，y2，)，但
9、必须将直线的方程和点的坐标设出来，这是解题的前提注意设而不求的思想及韦达定理的应用【互动探究】4(2011 年全国)已知直线l过抛物线 C 的焦点，且 l 与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|12，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为()CA18B24C36D48解析：设抛物线方程为 y22px(p0)，则焦点 Fp2，0，Ap2，p，Bp2，p.所以|AB|2p12，所以 p6.又点 P 到 AB 边的距离为p6，所以 SABP1212636.思想与方法17利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题 例题：AB为过抛物线焦点的动弦，P为AB的中点，A，B，P在
10、准线L的射影分别是A1，B1，P1：以下结论中：FA1FB1；AP1BP1；BP1FB1；AP1FA1.正确的个数为()A1 B2 C3 D4 解析：如图1232(1)，AA1AF，AA1FAFA1，又AA1F1F，AA1FA1FF1，则AFA1A1FF1，同理BFB1B1FF1，则A1F B190，故FA1FB1；如图1232(2)，PP1AA1BB12AFBF2AB2，即AP1B为直角三角形，故AP1BP1；如图1232(3)，BB1BF，即BB1F为等腰三角形，PP1PB，PP1BPBP1，又BB1P1P，PP1BB1BP1，则PBP1B1BP1，即BP1为角平分线，故BP1FB1；如图
11、1232(4)，同有A P1FA1.综上所述，都正确，故选D.图1232答案：D1对于抛物线的标准方程有四种形式，重点把握好两点：(1)“p”是焦点到准线的距离，恒为正数；(2)要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”2抛物线的焦半径、焦点弦过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径其长度为 2p；y22px(p0)的焦半径|PF|xp2；x22py(p0)的焦半径|PF|yP2；1对抛物线的标准方程要准确把握，注意和二次函数的形式求抛物线的方程时，要注意对称轴和抛物线开口方向，防止设错抛物线的标准方程2直线与抛物线只有一个交点并不表明直线与抛物线相切，因为直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，但该种关系显然不是相切因此通过方程判断直线与抛物线的位置关系时，要注意这种特殊情形AB 为抛物线 y22px 的焦点弦，则 xAxBp24，yAyBp2，|AB|xAxBp.区分开，例如抛物线 y2x2 化成标准方程为 x212y.用待定系数法
