1、仿真模拟冲刺卷(三)本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集为实数集 R，集合 Ax|(x1)(2x)0，则RA()Ax|1x2Bx|x2 Cx|x1 或 x2Dx|1xb0)的两个焦点，P 是椭圆 E 上的点，PF1PF2，且 sinPF2F13sinPF1F2，则椭圆 E 的离心率为()A.102 B.104 C.52 D.54 8十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：
2、将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段13，23，记为第一次操作；再将剩下的两个区间0，13，23，1 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉的各区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数 n 的最小值为()参考数据：lg20.3010，lg30.4771 A6B7C8D9 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错
3、的得 0 分，部分选对的得 2 分 9已知曲线 C 的方程为 x2m1 y23m1(mR)，则()A当 m1 时，曲线 C 为圆 B当 m5 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线方程为 y 33 x C当 m1 时，曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆 D存在实数 m 使得曲线 C 为双曲线，其离心率为 2 10下列说法正确的是()A直线(3m)x4y53m 与 2x(5m)y8 平行，则 m1 B正项等比数列an满足 a11，a2a416，则 S415 C在ABC 中，B30，b1，若三角形有两解，则边长 c 的范围为 1c0)，则下列说法正确的是()A若 f(x)的两个相邻的极值点之差的绝对值等
4、于4，则 2 B当 12时，f(x)在区间4，4 上的最小值为12 C当 1 时，f(x)在区间4，0 上单调递增 D当 1 时，将 f(x)图象向右平移8 个单位长度得到 g(x)22 sin4x4 的图象 12如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 BC1上运动，则下列判断中正确的是()A平面 PB1D平面 ACD1 BA1P平面 ACD1 C异面直线 A1P 与 AD1所成角的范围是0，3 D三棱锥 D1APC 的体积不变 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13函数 f(x)(x2)ex的图象在点(0，f(0)处的切线
5、方程为_ 14已知随机变量 XN(0，2)，且 P(Xa)m，a0，则 P(aXa)_.15将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为 27，则该几何体的全面积为_ 16如图，在四边形 ABCD 中，B60，AB2，BC6，且ADBC，ADAB2，则实数 的值为_，若 M，N 是线段 BC 上的动点，且|MN|1，则AMDN的最小值为_ 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分)已知数列an是等差数列，且 a11，a10a28，求：(1)an的通项公式；(2)设数列1anan2 的前 n 项和为 Sn，若
6、Sn m12(mN)对任意 nN恒成立，求 m 的最小值 18(本小题满分 12 分)在ABC 中，BAC 的角平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，满足 BD2DC.(1)求证：AB2AC；(2)若 ADBD2，求BAC 的大小 19(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC，PAPBPCAC4，O 为 AC 中点(1)证明：直线 PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，BM12MC，且 ABBC，求直线 PC 与平面 PAM 所成角的余弦值 20(本小题满分 12 分)每年春天，婺源的油菜花海吸引数十万游客纷至沓来，油菜花成为“中国最美乡村”的特色景观，三月
7、，婺源篁岭油菜花海进入最佳观赏期现统计了近七年每年(2015 年用 x1表示，2016 年用 x2 表示)来篁岭旅游的人次 y(单位：万人次)相关数据，如下表所示：x 1 2 3 4 5 6 7 旅游人次 y(单位：万人次)29 33 36 44 48 52 59(1)若 y 关于 x 具有较强的线性相关关系，求 y 关于 x 的经验回归方程 ybxa，并预测 2022 年篁岭的旅游的人次；(2)为维持旅游秩序，今需 A、B、C、D 四位公务员去各景区值班，已知 A、B、C 去篁岭值班的概率均为23，D 去篁岭值班的概率为13，且每位公务员是否去篁岭值班不受影响，用 X表示此 4 人中去篁岭值
8、班人数，求 X 的分布列与数学期望 参考公式：bi1nxi xyi yi1nxi x2，a yb x.参考数据：i17yi301，i17xi x)(yi y)140.21(本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴的正半轴上，直线 l：mxy320 经过抛物线 C 的焦点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作抛物线 C 的切线，两条切线相交于点 P，求ABP 面积的最小值 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)xlnxax2.(1)若 f(x)的图象恒在 x 轴下方，求实数 a 的取值范围；(
9、2)若函数 f(x)有两个零点 m、n，且 1mn2，求 mn 的最大值 仿真模拟冲刺卷(三)1答案：B 解析：由(x1)(2x)0，解得1x2，Ax|1x2，RAx|x2 2答案：C 解析：z(2i)|34i|32425，z 52i2i，则 z2i.3答案：C 解析：对于 A，B 校人数为 20034%68，C 校人数为 20020%40，因为 68401.560，所以 A 正确；对于 B，A 校前 100 名的人数有 29255450，所以 B 正确；对于 C，A 校在 51100 名的学生有 25 人，C 校在 1200 名的学生有 40 人，也有可能在 51100名的学生有 25 人，
10、所以 C 错误；对于 D，A 校在 1100 名和 151200 名的学生共有 29251771 人，A 校在 101150 的有 21 人，C 校在 1200 名的有 40 人，但在 101150的不一定有 40 人，而三个学校中在 1100 名和 151200 名内的人数至少有 150 人，所以B 校至少有 150714039 人在 1100 名和 151200 名内，则 B 至多有 683929 人在 101150 内，所以 D 正确 4答案：A 解析：因为 f(x)3xx2cosxf(x)，所以 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除 B，D；因为 f()3210，所以排除 C.5
11、答案：A 解析：取 x0，对于 A：f(0)cos0|sin0|101；对于 B：f(0)sin0|cos0|011；对于 C：f(0)cos0|sin0|101；对于 D：f(0)cos0|cos0|110，结合图象中 f(0)1，故排除 BD；取 x2，对于 A：f2 cos2 sin2011，对于 C：f2 cos2 sin2 011，结合图象，可排除 C.6答案：B 解析：从 7 名党员选 3 名去甲村共有 C37种情况，3 名全是男性党员共有 C34种情况，3 名全是女性党员共有 C33种情况，3 名既有男性，又有女性共有 C37C34C3330 种情况 7答案：B 解析：F1，F2
12、分别为椭圆 E：y2a2x2b21(ab0)的两个焦点，P 是椭圆 E 上的点，PF1PF2，且 sinPF2F13sinPF1F2，由正弦定理可得|PF1|3|PF2|，令|PF1|3|PF2|3n，则 3nn2a,9n2n24c2，可得52a24c2，所以椭圆的离心率为：eca524 104.8答案：D 解析：记 an为第 n 次去掉的长度，a113，剩下两条长度为13的线段，第二次去掉的线段长为 a22132232，第 n1 次操作后有 2n1条线段，每条线段长度为 13n1，因此第 n 次去掉的线段长度为an2n1 13n1132n13n，所以 Sn13123n123123n2627，
13、23n 127，n(lg2lg3)3lg3，n3lg3lg3lg28.13，n 的最小值为 9.9答案：AB 解析：对于 A，m1 时，方程为x22y221，即 x2y22，曲线 C 是圆，A 正确；对于 B，m5 时，方程为x26y221，曲线 C 为双曲线，其渐近线方程为 y 33 x，B 正确；对于 C，m1 时，不妨令 m5，由选项 B 知，曲线 C 为双曲线，C 不正确；对于 D，要曲线 C 为双曲线，必有(m1)(3m)0，即 m3，m3 时，曲线 C：x2m1 y2m31，因双曲线离心率为 2时，它实半轴长与虚半轴长相等，而(m1)3m，m1m3，D 不正确 10答案：BCD 解
14、析：若直线(3m)x4y53m 与 2x(5m)y8 平行，则 mm42mm，解得：m7，故选项 A 不正确；数列an满足 a11，a2a416，所以 a2316，所以 a3a1q2q24，可得 q2，所以 S4a1q41q1241215，故选项 B 正确；在ABC 中，B30，b1，由正弦定理可得 csinC bsinB，即 c2sinC，因为 AC18030150，因为 C 有两个值，且两个值互补，若 C30，则其补角大于 150，则 BC180不成立，所以 30C150，因为 C90时也是一解，所以 30C150且 C90，12sinC1，所以 1c2sinCa)m，a0，则 P(Xa)
15、m，所以 P(aXa)12m.15答案：36 解析：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为 27，设正方体的边长为 a，则 Va2a27，解得 a3，该圆柱的全面积为 S23323236.16答案：13 114 解析：因为ADBC，所以ADBC，因为B60，所以BAD120，所以ADAB|AD|AB|cos12012|BC|AB|1262213；建立如图所示的坐标系 xOy，因为B60，AB2，BC6，可得 A(0，3)，D(2，3)，设 M(m,0)，因为|MN|1，则 N(m1,0)，所以AM(m，3)，DN(m1，3)，AMDNm(m1)(3)2m2m3m12211
16、4 114，当 m12时等号成立，所以AMDN的最小值为114.17解析：(1)设数列an公差为 d，则 a10a19d，a2a1d，则 a10a2a19d(a1d)8，解得 d1.an的通项公式为：an1(n1)1n.(2)根据题意，Sn 1a1a3 1a2a41anan2 113 1241nn 1211312141n 1n2 12112131n 1314 1n2 121121n1 1n2342n3nn34.若 Sn m12(mN)对任意 nN恒成立，则 m1234，解得 m9.m 的最小值为 9.18解析：(1)证明：因为 AD 为BAC 的角平分线，故BADDAC，在ABD 中，由正弦定
17、理可得：BDsinBADABsinADB，在ADC 中，由正弦定理可得：DCsinDACACsinADC，由和可得BDDCABsinADCACsinADB，又ADCADB180，故 sinADCsinADB，可得：BDDCABAC2，即 AB2AC；(2)由题意可知 ADBD2，DC1，由(1)知 AB2AC，不妨设 AB2AC2x.在ABD 中，由余弦定理可得：AB2AD2BD22ADBDcosADB，即 4x288cosADB，在ADC 中，由余弦定理可得：AC2AD2DC22ADDCcosADC，即 x254cosADC，由又ADCADB180，故 cosADCcosADB，由和可解得：
18、x 3，cosADC12，从而可得 AB2 3，AC 3，BC3，在ABC 中，由余弦定理得：cosBACAB2AC2BC22ABAC12，又 0BAC0)直线 l：mxy320 经过抛物线C 的焦点，m0p2320，解得 p3.抛物线 C 的方程为 x26y.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 x26ymxy320，得 x26mx90.36m2360，x1x26m，x1x29，|AB|1m2 36m2366(1m2)由 x26y 得 yx26.yx3.抛物线 C 经过点 A 的切线方程是 yy1x13(xx1)，将 y1x216代入上式整理得 yx13xx216.同理可得抛物线
19、 C 经过点 B 的切线方程为 yx23xx226.解方程组 yx13xx216yx23xx226得 xx1x22yx1x26，x3my32.P3m，32 到直线 mxy320 的距离 d3232m213 m21，ABP 的面积 S12|AB|d126(1m2)3 m219(m21)32.m211，S9.当 m0 时，S9.ABP 面积的最小值为 9.22解析：(1)由题意可得，f(x)xlnx，alnxx 恒成立 令 h(x)lnxx，则 h(x)1lnxx2，由 h(x)0 得 0 xe；由 h(x)e；所以 h(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减，因此 h(x)maxh(e)1e，只需 a1e；(2)由 xlnxax20 知 lnxax，由题意，可得：lnmam，lnnan，所以 lnmlnna(mn)，即 alnmlnnmn，又 lnmlnna(mn)lnmlnnmn(mn)mn1mn1lnmn 令 tmn，t(1,2，则 lnmnt1t1lnt，令 g(t)lntt1，t(1,2，则 g(t)t2lnt1t2，令(t)t2lnt1t，则(t)12t1t22t20 显然恒成立，(t)递增，t(1,2时，(t)(1)0，g(t)0，即 g(t)在 t(1,2上递增，因此 g(t)maxg(2)3ln2，lnmlnn 最大值为 3ln2，mn 最大值为 8.
