1、知识导图 学法指导 1.研究几何问题，不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言的相互转换，也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要注意实线与虚线的区别2学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论，明确四个公理各自的作用3要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件4判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法5作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线高考导航 1.平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据，需要牢固掌握，但高考中很少单独考查2高考经常考查两条直线位
2、置关系的判定和公理 4 的应用，常以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题某一问的形式出现，分值 57 分3求异面直线所成的角，常与正、余弦定理(必修 5 中学习)综合考查，对于理科考生还需要掌握用空间向量法(选修 21 中学习)求角的大小独立考查该知识的试题不多，有时以选择题、填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现(一般作为第一问)，分值 57 分第1课时 平面 知识点一 平面概念 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是_的画法常常把水平的平面画成一个_，并且其锐角画成45，且横边长等于邻边长的_，为了增强立体感，被遮挡部分用_画出来表示方法(1)一个希腊字母：如，等；
3、(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点无限延展平行四边形2 倍虚线1平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；2平面无厚薄、无大小，是无限延展的1.直线在平面内的概念如果直线 l 上的_都在平面 内，就说直线 l 在平面 内，或者说平面 _直线 l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系所有点经过数学符号表示文字语言表达图形语言表达_点 A 在直线 l 上_点 A 在直线 l 外_点 A 在平面 内_点 A 在平面 外_直线 l 在平面 内_直线 l 在平面 外_直线 l，m 相交于点 A_
4、平面，相交于直线 lAlAlAAlllmAl知识点二 平面的基本性质公理内容图形符号公理 1如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在_Al，Bl 且 A，B_公理 2 过 _ 的三点，_一个平面A，B，C 三点不共线存在唯一的平面 使 A，B，C公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_P 且 P _两点此平面内l不在同一条直线上有且只有公共直线l 且 Pl1.公理 1 的作用：用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆)；判断直线是否在平面内(经常被用于立体几何的说理中)2公理 2 的作用：确定平面；证明点、线共面公理 2中要注意
5、条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性3公理 3 的主要作用：判定两个平面是否相交；证明共线问题；证明线共点问题.公理 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面 小试身手1判断下列命题是否正确.(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间不同三点确定一个平面()(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面()(3)和同一直线都相交的三条平
6、行线在同一平面内()2经过空间任意三点作的平面()A只有一个 B只有两个C有无数个 D只有一个或有无数个解析：当三点共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能作一个平面答案：D3如果 a，b，laA，lbB，那么下列关系成立的是()AlBlClA DlB解析：laA 又 a，Al 且 A.同理 Bl 且 B.l.答案：A4如果空间四点 A、B、C、D 不共面，那么下列判断正确的是()AA、B、C、D 四点中必有三点共线BA、B、C、D 四点中不存在三点共线C直线 AB 与 CD 相交D直线 AB 与 CD 平行解析：A、B、C、D 四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线 AB 与 CD
7、既不平行也不相交，否则 A、B、C、D 共面答案：B类型一 平面,例 1 下面四种说法：平面的形状是平行四边形；任何一个平面图形都可以表示平面；平面 ABCD 的面积为 10 cm2；空间图形中，后引的辅助线都是虚线其中正确的说法的序号为_【解析】本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方法平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也是如此，这与平面几何是有区别的有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形，如矩形、
8、圆、正多边形等表示平面，但不能说它是平面综上，错误，正确故填.【答案】平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个概念方法归纳 平面画法的四个关注点通常画的平行四边形表示的是整个平面需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45，横边画成邻边的两倍画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线跟踪
9、训练 1 如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是()解析：对于，图中没有画出平面 与平面 的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此的画法不正确同样的道理，可知的画法不正确，中画法正确答案：利用平面的概念及平面的画法进行判断类型二 文字语言、图形语言、符号语言的转化例 2(1)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：A，B；A，mA，Al，l；Pl，P，Ql，Q；(2)用符号语言表示下列语句，并画出图形：三个平面，相交于一点 P，且平面 与平面 相交于PA，平面 与平面 相交于 PB，平面 与平面 相交于 PC；平面 ABD 与平面 BDC 相交
10、于 BD，平面 ABC 与平面 ADC相交于 AC.【解析】(1)点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内；直线 l 在平面 内，直线 m 与平面 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上；直线 l 经过平面 外一点 P 和平面 内一点 Q.图形分别如图所示(2)符号语言表示：P，PA，PB，PC.图形表示如图所示符号语言表示：平面 ABD平面 BDCBD，平面 ABC平面 ADCAC.图形表示如图所示.本题考查数学抽象在“A，l”中 A 视为平面(集合)内的点(元素)，l(集合)视为平面(集合)内的直线(子集)方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条
11、直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示；直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟踪训练 2 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母：A_平面 ABC，A_平面 BCD，BD_平面ABC，平面 ABC平面 ACD_.AC根据符号的含义进行判断或转化.类型三 平面性质的应用例 3 如图，ABC 在平面 外，ABP，ACQ，BCR.求证：P，Q，R 三点共线【证明】方法一 ABP，PAB，P.又 AB平面 ABC，P平面 ABC
12、.由公理 3 可知点 P 在平面 ABC 与平面 的交线上，同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 的交线上，P，Q，R三点共线方法二 APAQA，直线 AP 与直线 AQ 确定平面 APQ.又 ABP，ACQ，平面 APQPQ.B平面 APQ，C平面 APQ，BC平面 APQ.RBC，R平面 APQ，又 R，RPQ，P，Q，R 三点共线.证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上方法归纳(1)证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点(2)证明点、线共面问题的理
13、论依据是公理 1 和公理 2，常用方法有：先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”；先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面 与 重合，即用“辅助平面法”；假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”跟踪训练 3 如图，三个平面、两两相交，c，a，b，若直线 a 和 b 不平行，求证：a，b，c 三条直线必过同一点证明：b，a，a，b，a 与 b 不平行，a 与 b 必相交，设 abP，则 Pa，Pb，a，b，P，P.又 c，Pc，即交线 c 经过点 P.a、b、c 三条直线相交于同一点证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理 3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.
