1、（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学1月联考试题（甲卷）理（含解析）注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡。上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合AxR|2x10，则ABA.(1，2) B.(1，2) C.
2、(2，) D.1，22.已知0(i为虚数单位)，则实数a等于A.1 B.0 C.1 D.13.若，(，)，则sin()A. B. C. D.4.如图，大正方形ABCD边长为8，其内有一心形曲线，由两个半圆和关于对称轴EF对称的两段半个周期上的余弦曲线围成，且余弦曲线两端点恰为曲线的最高点和最低点，则在大正方形ABCD内任取一点，该点取自心形曲线内部的概率为A. B. C. D.5.若定义在R上的函数f(x)在(，1上单调递减。若f(x)f(2x)，且f(4)0，则不等式0的解集为A.4，13，) B.4，1(0，1C.4，02，) D.1，0)5，)6.已知非零向量a，b满足|a|b|ab|1
3、，c2ab，则cosA.0 B. C. D.7.如图，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体侧面，从A到B的最短路径长为A.2 B.3 C.4 D.8.为了落实“精准扶贫”工作，某市抽调4名工作人员，去A，B，C三个贫困村开展驻点帮扶。若每个村至少去1人，则不同的分配方法种数为A.24 B.36 C.42 D.489.已知数列an中，a11，1(nN*)，若，则mA.8 B.9 C.10 D.1110.在由三棱柱截得的几何体ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，AB上AC，AA12，BB1CC11，AC2，点D，E，F分别是棱B1C1，A1C1，BB1的中点。若直线A1D与EF所成角的余
4、弦值为，则ABA.1 B.2 C. D.411.已知抛物线y28x的焦点为F，过点F斜率为的直线l交该抛物线于A，B(A在第一象限)，直线l与圆x2y24x30交于点C，D(C在第一象限)，O为坐标原点，则OAC与OBD的面积之比为A.8：3 B.5：3 C.21：5 D.7：112.已知函数f(x)是定义域为(，0)(0，)的偶函数。当x0时，函数f(x)，若关于x的方程f2(x)af(x)b0(a，bR)有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是A.(，) B.(，2) C.(x，) D.(2，)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在声学中，用声压水平(单位：分贝)来度
5、量声音的强弱，定义为Lp20lg。其中，p0是听觉下限阈值20 Pa，p是实际声压。假设第一次测得声音的强度是10分贝，第二次测得声音的强度是100分贝，则第二次与第一次的声压比值约为 。(104.531623，2.1544，1.414，2.2361)14.设正项等比数列an的前n项和为Sn，且a6a2a5，S37，设a1a2an，则的值为 。15.如图所示，直角三角形的三边勾股弦的长分别为a，b，c，以边长为a，b，c的三边分别向外作相似的图形，其面积分别为S2，S3，S1。试猜想这些图形的面积S1，S2，S3满足的关系式为 。16.双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射
6、后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。已知双曲线E：(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2沿倾斜角120出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30，则该双曲线的离心率为 。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)20152019年，全国从事节能服务业务的企业数量逐年上升，但增速缓慢。根据中国节能协会发布的2019节能服务产业发展报告，截至2019年底，全国从事节能服务的企业数量统计如表所示：(I)作出散点图
7、，并根据散点图说明全国从事节能服务的企业数量与时间的相关关系；(II)令xt2017，求y关于x的回归直线方程；(III)预测2021年，全国从事节能服务的企业数量约为多少家？附：回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式为。18.(12分)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4ccos2b2(abcosAacosB)。(I)求C；(II)若c4，求ABC的面积的最大值。19.(12分)已知五边形PABCD是平面图形(如图1)，四边形ABCD是矩形，PAPD，PAPD。现在沿AD折叠PAD，使得PAB90，得到四棱锥PABCD(如图2)。(I)求证：PD平面PAB；(II)若二面
8、角APBC的余弦值为，求的值。20.(12分)已知椭圆E：与圆x2y22相切于长轴的端点，且离心率为。(I)求椭圆E的方程；(II)已知F是椭圆E的右焦点，设ABC的顶点A，B在椭圆上，角C的平分线与x轴重合，若，且AB与x轴不垂直，求点C的坐标。21.(12分)已知函数f(x)ex2x。(I)当xcosx；(II)若函数g(x)f(x)cosxln(x1)，试问：函数g(x)是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由。(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡。上将所选题号后的方框涂黑。22.选修44：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l与极轴交于点N，且动点M满足|MN|1。(I)求直线l的极坐标方程和点M的轨迹的极坐标方程C；(II)若直线(R)分别交直线l、曲线C于点A，B(非极点)，求的值。23.选修45：不等式选讲(10分)设函数f(x)|x1|x1|。(I)求不等式f(x)3的解集；(II)若f(x)xt对任意xR恒成立，求实数t的取值范围。
