1、考纲要求考纲研读1.理解空间直线、平面位置关系的定义2了解四个公理及其推论，了解等角定理，并能以此作为推理的依据.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义寻找公理成立的条件是正确使用公理的依据.第3讲 点、直线、平面之间的位置关系 公理 1公理 2公理 3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线1平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表公理 2 的三条推论：推论 1：
2、经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理 4：平行于同一条直线的两条直线_平行等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_相等或互补公理 1公理 2公理 3 符号语言Al，Bl，A，Bl.A，B，C 不共线A，B，C 确定平面.P，Pl，Pl.2空间线、面之间的位置关系平行相交异面无数个只有一个没有没有重合且有一条公共直线3异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的_，叫做异面直线 a 与 b所成的角，其范围
3、是(0，90锐角或直角1互不重合的三个平面最多可以把空间分成几个部分()A4B5C7D8D2若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()AA充分非必要条件C充要条件B必要非充分条件D非充分非必要条件 3(2010年全国)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90 解析：延长CA到D，使得ADAC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形，DA1B60.C4长方体 ABCDA1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC
4、1 共面的棱的条数为()CA3B4C5D6)D5A，B，Al，Bl，Pl，则(APBPClDP考点1 平面的基本性质例1：如图 1331，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，PQ，CB 的延长线交于 M，RQ，DB 的延长线交于 N，RP，DC 的延长线交于 K.求证：M，N，K 三点共线图 1331PQCBM，证明：RQDBN，RPDCK M，N，K平面 BCD，M，N，K平面 PQRM，N，K 在平面 BCD 与平面 PQR 的交线上，即 M，N，K 三点共线 要证明M，N，K 三点共线，由公理 3 可知，只要 证明M，N，K 都在平面 BCD 与平面PQR 的交线上即可证明多点共线问题
5、：(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上两相交平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点【互动探究】1下列推断中，错误的个数是()AAl，A，Bl，Bl；A，B，C，A，B,C,且 A，B，C 不共线、重合；l，AlA.A1 个C3 个B2 个D0 个2E，F，G，H 是三棱锥 ABCD 棱 AB，AD，CD，CB 上的点，延长 EF，HG 交于 P，则点 P()BA一定在直线 AC 上C只在平面 BCD 内B一定在直线 BD 上D只在平面 ABD 内考点2 空间两直线的位置关系
6、 例2：如图 1332，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB1，BC1的中点，则以下结论不成立的是()AEF 与 BB1 垂直CEF 与 CD 异面BEF 与 BD 垂直DEF 与 A1C1 异面解析：连接A1B，则A1B 经过点E，且E为A1B 的中点，又F 是BC1 中点，EFA1C1.故D 不成立D图 1332【互动探究】3如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()D解析：在A图中分别连接PS，QR，易证PSQR，P，S，Q，R共面在B 图中，P，S，R，Q均在截面PSRQ 上，P，S，R，Q 共面在C 图中分别连接
7、PQ，RS，也易证PQRS.P，Q，R，S 共面；故选D.4(2011 年四川)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()BAl1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：对于A，直线l1与l3 可能异面；对于C，直线l1，l2，l3 可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1，l2，l3相交于同一个点时不一定共面所以选B.考点3 异面直线所成的角 例 3：(2011 年上海)如图 1333 已知 ABCDA1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱，高 AA12.求
8、：(1)异面直线 BD 与 AB1 所成的角的余弦值；(2)四面体 AB1D1C 的体积图 1333解析：(1)如图1333,连接DC1，BC1，易知DC1AB1，BDC1是异面直线BD与AB1所成的角在BDC1中，DC1BC1 5，BD 2，cosBDC225 1010.(2)连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积V1111ABCDA B C DV4111CB C DV 241323.求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，直到得到两条相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题【互动探究】5正方体ABCDABCD中，AB的中点为M，DD的中点为N
9、，异面直线BM与CN所成的角是()A0 B45 C60 D90D考点4 立体几何中的探究问题 例4：在长方体 ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点 P(如图(1)过 P 点在空间作一直线 l，使 l直线 BD，1334，其中 P 点不在对角线B1D1上)应该如何作图？并说明理由；(2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m，图 1334使 m 与直线 BD 成 角，其中 0，2，这样的直线有几条，应该如何作图？解析：(1)连接 B1D1，在平面 A1C1 内过 P 作直线 l，使 lB1D1，则 l 即为所求作的直线B1D1BD，lB1D1，l直线 BD.(2)在平面 A1C1 内
10、作直线 m，使直线 m 与 B1D1 相交成 角，BDB1D1，直线 m 与直线 BD 也成 角即直线 m 为所求作的直线由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角 0，2.当 x2时，这样的直线 m 有且只有一条当 2时，这样的直线 m 有两条【互动探究】6(2010 年江西)如图 1335 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作()D图1335A1 条B2 条C3 条D4 条解析：考查空间感和线线夹角的计算和 判断，重点考查学生分类、化归转化的能力 第一类：通过点 A 位于三条棱之
11、间的直线有 一条对角线AC1；第二类：在图形外部和每 条棱的外角和另2 条棱夹角相等，有3 条，合计4 条1反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据公理 1 判断直线在平面内的依据；公理 2 的作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理 3 是证明三(多)点共线或三线共点的依据2理解空间中直线与直线的位置关系，掌握异面直线的两种判断方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面(2)客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线1平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定成立例如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”，“同时垂直于一条直线的两条直线平行”等性质在空间都不成立2正确理解异面直线的定义，是“不同在任何一个平面内的两条直线”，而不能理解成“不在同一个平面内的两条直线”3直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线不在平面内，记作：l，包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形
