1、2023年中考数学综合压轴题训练二次函数图象与坐标轴的交点问题一、综合题1如图，已知抛物线 经过 ， 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）将直线 向下平移 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 ，求 的值 2某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C的距离3已知抛物线yax2+bx+3过A(3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C,（1）
2、求该抛物线的表达式. （2）设P是该抛物线上的动点，当PAB的面积等于ABC的面积时，求P点的坐标. 4函数的图象与性质拓展学习片段展示：（1）（问题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）2-4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ，点A的坐标为 .（2）（操作）将图中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图.直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式： .（3）（探究）在图中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是 .（4）（应用）结合上面的操作与探究，继续思考： 如图，若抛
3、物线y=（x-h）2-4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象.求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）（5）当1x2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围.5已知抛物线C：y（xm）2+m+1（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积6已知二次函数y(ab)x22cxab，a、b、c是ABC的三边（1）当抛物线与x轴只有一个交点时，判断ABC是什么形状 （2）当 时，该函数有最大值 ，判断ABC是什么形状 7已知抛物线 与x轴有两个交点A和B，与
4、y轴交于点C，顶点为点D. （1）求m的取值范围；（2）若 ，求m的值； （3）若 ，点P在抛物线上，且 是直角三角形，直接写出点P的坐标. 8如图所示，抛物线的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）当时 ，求点A、B、C的坐标；如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接、，当四边形是圆的内接四边形时，求a的值9如图，抛物线ya（x ）（x+3）交x轴于点A、B，交y轴于点C，tanCAO （1）求a值； （2）点P为第一象限内抛物线上一点，点P的横坐标为t，连接PA，PC，设PAC的面积为S，求S
5、与t之间的关系式； （3）在（2）的条件下，点Q在第一象限内的抛物线上（点Q在点P的上方），过点P作PEAB，垂足为E，点D在线段AQ上，点F在线段AO上连接ED、DF，DE交AP于点G，若QDF+QDE180，DFA+AED90，PGPE，PG：EF3：2，求点P的坐标 10已知抛物线 与 轴的两个交点间的距离为2 （1）若此抛物线的对称轴为直线 ，请判断点（3，3）是否在此抛物线上？ （2）若此抛物线的顶点为（S，t），请证明 ； （3）当 时，求 的取值范围 11在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx26mx+9m+1（m0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为
6、A和B点（点A在点B的左侧），且AB4，求m的值（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围 12在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB=2OC. （1）求点B的坐标和a的值；（2）如图1，点D，P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD，DE，设CDE的面积为s，若 ，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，射线AE与射线FB交于点
7、G，连接AP，若AGB=2APB，求点P的坐标.13如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.14已知抛物线 经过 两点. （1）求b的值；（2）当 时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围； （3）若方程 的两实根 ，满
8、足 ，且 ，求P的最大值. 15综合与实践如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点（1）求A，B，C三点的坐标；（2）如图2，当点D在第四象限时，连接和，得到，当的面积最大时，求点D的坐标；（3）点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标16在平面直角坐标系Oxy中，抛物线y=x24x+k（k是常数）与x轴相交于A、B两点（B在A的右边），与y轴相交于C点（1）求k的取值范围；（2）若OBC是等腰直角三角形，求k的值17如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y
9、轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求SCAB ； （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPAB 面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使SQABSCAB，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.18已知二次函数yx22bx+c的图象与x轴只有一个交点.（1）请写出b、c的关系式； （2）设直线y7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长； （3）若P（a，a）不在曲线yx22bx+c上，请求出b的取值范围. 答案解析部分1【答案】（1）抛物线 （a0）经过A（3，0）、B（
10、4，4） 将A与B两点坐标代入得： ，解得： ，抛物线的解析式是 ；（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4）， 得：4=4k1，解得：k1=1直线OB的解析式为 ，直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为： ，点D在抛物线 上，可设D（ ， ），又点D在直线 上， ，即 ，抛物线与直线只有一个公共点， ，解得： 2【答案】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），设抛物线的解析式为ya（x3）24，将点A坐标（2，3）代入得：3a（23）24，解得：a1，这条抛物线的解析式为y（x3）24；（2）解：y（x3）24，
11、令y0得：0（x3）24，解得：x11，x25，起跳点A坐标为（2，3），x11，不符合题意，x5，运动员落水点与点C的距离为5米3【答案】（1）把A与B坐标代入得： ， 解得： ，则该抛物线的表达式为yx22x+3；（2）由抛物线解析式得：C(0，3)， ABC面积为 346，PAB面积为6，即 |yP纵坐标|46，即yP纵坐标3或3，当yP纵坐标3时，可得3x22x+3，解得：x2或x0(舍去)，此时P坐标为(2，3)；当yP纵坐标3时，可得3x22x+3，解得：x1 ，此时P坐标为(1+ ，3)或(1 ，3).4【答案】（1）1；（4，0）（2）y=-（x-2）2+4（3） 或 x4（4
12、）解：令 解得： 故点 的坐标为： （5）解：当 时，新图象的函数值 随 增大而增大， 则： 或 解得： 或 5【答案】（1）解：抛物线的解析式为 ， 抛物线的顶点坐标为（ ， ），抛物线的顶点坐标在第二象限， ， ；（2）解：当 时，抛物线解析式为 ， 令 ，即 ，解得 或 ，令 ， ，如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），OD=3，AB=2， ，抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是36【答案】（1）解：令y0，即(ab)x22cxab0， 抛物线与x轴只有一个交点，4c24(ab)(ab)0，化简得：a2c2=b2，ABC是以b为斜边的直角三角形（2）解：依题意得：
13、x ， ，又 ，a22c22b2ab0，将 代入a22c22b2ab0中，得a2b2，a0，b0，abc，ABC为等边三角形7【答案】（1）解：抛物线 与x轴有两个交点A和B， 令y=0，即 有两个不等实根，=4+4m0，解得m-1；（2）解：解得 ， 点A（ ），B（ ） ， ；（3）点P的坐标为（2，-1）或（3，2） 8【答案】（1）解：对于，令，解得或，令，则，故点、的坐标分别为、，当时，顶点的坐标为当时，函数的表达式为，则点、的坐标分别为、；过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交轴于点，设点的坐标为，则，解得或4，故点的坐标为，或；（2）解：点、的坐标分别为、，顶点的坐标为当四边
14、形是圆的内接四边形时，则的中点为该圆的圆心，设的中点为点，由中点坐标公式得，点，则，即，解得9【答案】（1）解：抛物线ya(x )(x+3)交x轴于点A、B， 0a(x )(x+3)x1 ，x23，点A(3，0)，点B( ，0)，AO3，tanCAO ，CO4，点C(0，4)4a(0 )(0+3)，a （2）解：y (x )(x+3) y x2 x+4，点P的横坐标为t，点P(t， t2 t+4)，S 4+( t2 x+4)t+ 34 (t+3)( t2 t+4) t2+ t；（3）解：如图3，延长AQ，EP交于点H，连接GF， QDF+QDE180，且QDE+ADE180，ADEQDF，AD
15、FQDE，DFA+AED90，AED+DEP90，AFDDEP，HAEAHE，且HEAE，HAEAHE45，AEEHt+3，PEPG，PGEPEG，PGEAFDAGD，点A，点D，点G，点F四点共圆，ADFAGF，QDEAFG，AGFAFG，AFAG，设PGPE3a，EF2a，AFt+32aAG，APt+32a+3at+3+a，AP2PE2+AE2，(t+3+a)29a2+(t+3)2，a ，3a 点P(t， ) t2 t+4，t1，t3（不合题意舍去）点P(1，3)10【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴的两个交点间的距离为2，可得抛物线与 轴的两个交点为（0，0）和（2
16、，0）， 所以抛物线 的解析式为与 当 时， 所以点（3，3）在此抛物线上 .（2）解：抛物线的顶点为 ，则对称轴为直线 ，且抛物线与 轴的两个交点间的距离为2， 可得抛物线与 轴的两个交点为（ ，0）和（ ，0） 所以抛物线 的解析式为与 由 得 所以 ；（3）解：由（2）知 即 整理得 由对称轴为直线 ，且二次项系数 可知 当 时，b的随a的增大而增大 当a=10时，得 当a=20时，得 所以 当 时， 11【答案】（1）解：ymx26mx+9m+1m（x3）2+1， 抛物线的顶点坐标为（3，1）（2）解：对称轴为直线x3，且AB4， A（1，0），B（5，0），将点A的坐标代入抛物线，可
17、得：m ；（3）m1或m 12【答案】（1）解：由 ，得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， .（2）解：如图l，作 于 ， 于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .当 时， .点 的坐标为 .（3）解：如图2，作 ，交 轴于 ， 过 点作 ，交 于 ，交AB于H，设 ， ， ， ， ， ， ，又 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，以 为斜边在 轴下方作等腰直角 ，以 为圆心， 为半径作 ，交抛物线于 ，则 ， ，点 ， ，由 ，得 ， ，令 ， ，解得 或 （舍去）， ， ， .13【答案】（1）解：令，解得或，；将C点的横坐标代入，
18、得，直线AC的函数解析式是（2）解：设P点的横坐标为x则P、E的坐标分别为：，P点在E点的上方，当时，PE的最大值（3）解：存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0），如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CGx轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于GFAC，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4
19、+，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；如图，同可求出F的坐标为（4-，0）.所以，符合条件的F点共有4个.14【答案】（1）解： 抛物线 经过 两点， 此抛物线的对称轴为直线 ，解得 ；（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为 ， 则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，由对称性可知， 时的函数值与 的函数值相同，要使得当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，当这个公共点是顶点时，则关于 的一元二次方程 只有一个实数根，所以其根的判别式 ，解得 ；当这个公共点不是顶点时，则当 时， ；当 时， ，即 ，解得 ，综上， 的取值范围是 或 ；（3）解： 方程 的两实
20、根为 ，且 ， ，即 ， ，解得 ， ，整理得： ，则在 内， 随 的增大而减小，所以当 时， 取得最大值，最大值为 .15【答案】（1）解：把代入中，得解得，点A的坐标是，点B的坐标是把代入中，得点C的坐标是（2）解：设点D的坐标是如图，过点D作轴于点H，作轴于点G，连接，点B的坐标是，点C的坐标是，化简，得，当时，的面积最大为点D的坐标是（3）解：或或或16【答案】（1）解：依题意，（4）24k0， 解不等式得，k4，所以k的取值范围是k4（2）解：依题意，C（0，k）， B（|k|，0），|k|24|k|+k=0，k0时，k23k=0，解得k=3；k0时，k2+5k=0，解得k=517【
21、答案】（1）解： 根据题意设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4.抛物线与x轴交于点A（3，0），0=a(3-1)2+4，a=-1，y=-(x-1)2+4. 令y=-(x-1)2+4中x=0，得y=3，B（0，3）. 令y=-(x-1)2+4中y=0，得x=3或x=-1，A（3，0）. 设直线AB的解析式为y=kx+b，将（0，3）、（3，0）代入可得 解得，直线AB的解析式为y=-x+3.（2）解：过点C作CDy轴，交AB于点D， 令y=-x+3中的x=1，得y=2，D（1，2），SABC=SBCD+SACD=1(4-2)+2(3-1)=1+2=3.（3）解：过点P作PFy轴，交AB于点F，
22、设P（x，-x2+2x+3），则F（x，-x+3），SPAB=SBFP+SAFP=x(-x2+2x+3)-(-x+3)+(3-x)(-x2+2x+3)-(-x+3)=(x-)2+.0x3，当x=时，S取得最大值. 当x=时，y=-x2+2x+3=，点P的坐标为（，）.（4）解：存在，点Q的坐标是（2，3）或（，）或（，）.18【答案】（1）解：二次函数yx22bx+c的图象与x轴只有一个交点， 令y0得：x22bx+c0，（2b）24c0，b2c.（2）解：设A（x1，0），B（x2，0）， 直线y7与抛物线的交点A、B的横坐标就是方程x22bx+c70的两个根x1、x2.AB|x1x2|，x1+x22b，x1x2c7，b2c.AB|x1x2| 2 .（3）解：P（a，a）不在曲线yx22bx+c上， 直线yx与曲线yx22bx+c没有交点，即方程xx22bx+c没有实数根，x2+（12b）x+c0的0，即（12b）24c0，整理得，14b+4b24c0，b2c.14b0，b .
