1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M=2，m，N=1，2，3，则“m=3”是“MN”的（） A 充分而不必条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据集合关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：若MN，则m=1或m=3，则“m=3”是“MN”的充分不必要条件，故选：A【点评】： 本题主要考查充分条件和必要
2、条件的判断，根据集合的基本关系是解决本题的关键2（5分）已知i是虚数单位，a，bR，a+bi=，则a+b等于（） A 1 B 1 C 3 D 4【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数代数形式乘除运算化简，然后由复数相等的条件求得a，b，则a+b的值可求【解析】： 解：由a+bi=，得：a=1，b=2a+b=3故选：C【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题3（5分）设随机变量服从正态分布N（3，4），若P（2a3）=P（a+2），则a的值为（） A B C 5 D 3【考点】： 正态分布曲线的特
3、点及曲线所表示的意义【专题】： 计算题【分析】： 根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可【解析】： 解：随机变量服从正态分布N（3，4），P（2a3）=P（a+2），2a3与a+2关于x=3对称，2a3+a+2=6，3a=7，a=，故选A【点评】： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目4（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=11，a5+a9=2，则当Sn取最小值时，n等于（） A 9 B 8 C
4、7 D 6【考点】： 等差数列的前n项和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由已知求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，由通项小于等于0求得n的值得答案【解析】： 解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由a2=11，a5+a9=2，得，解得：an=15+2n由an=15+2n0，解得：当Sn取最小值时，n等于7故选：C【点评】： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题5（5分）根据如下样本数据 得到的回归方程为若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（） A 增加1.4个单位 B 减少1.4个单位 C 增加1.2个单位 D 减少1.2个单位【考点】： 线性回归方
5、程【专题】： 概率与统计【分析】： 首先，根据所给数据，计算样本中心点（5，0.9），然后，将改点代人回归方程，得到b=1.4，从而得到答案【解析】： 解：设变量x，y的平均值为：，=5，=0.9，样本中心点（5，0.9），0.9=5b+7.9b=1.4，x每增加1个单位，y就减少1.4故选：B【点评】： 本题重点考查了回归直线方程的特征、回归直线方程中回归系数的意义等知识，属于中档题6（5分）已知O是坐标原点，点A（2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（） A 1，0 B 1，2 C 0，1 D 0，2【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】
6、： 作出不等式组对应的平面区域，设z=，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=，A（2，1），M（x，y），z=2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当y=2x+z，经过点A（1，1）时，直线截距最小，此时z最小为z=2+1=1经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大此时z=2，即1z2，故选：B【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键7（5分）已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数若曲线y=x过点P（m，n），则的值
7、为（） A 1 B C 2 D 3【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由基本不等式易得m=且n=时取到最小值，可得=，解方程可得【解析】： 解：正实数m，n是满足m+n=1，=（）（m+n）=10+10+2=16，当且仅当=即m=且n=时取到最小值，曲线y=x过点P（，），=，解得=故选：B【点评】： 本题考查基本不等式求最值，涉及幂函数的运算，属基础题8（5分）某校开设A类课3门，B类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（） A 15种 B 30种 C 45种 D 90种【考点】： 排列、组合及简单计数问题【专题】： 排列组
8、合【分析】： 两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【解析】： 解：可分以下2种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C52种不同的选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C51种不同的选法根据分类计数原理知不同的选法共有C31C52+C32C51=30+15=45种故选：C【点评】： 本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C83C33C53=459（5分）如图是函数f（x）
9、=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（） A （） B （1，2） C （，1） D （2，3）【考点】： 函数零点的判定定理【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间【解析】： 解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0b1，f（1）=0，从而2a1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：01，解得2a0，g（1）=ln1+2+a=2+a0，函
10、数g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C【点评】： 本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题10（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对xR，都有f（x2）=f（x+2），且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（） A （1，2） B （2，+） C （1，） D （，2）【考点】： 函数的零点与方程根的关系【专题】： 作图题；函数的性质及应用【分析】： 作出在区间（2，6内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图
11、象交点的个数【解析】： 解：f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，对xR，都有f（x2）=f（x+2），f（x）是周期函数，且周期为4；当x2，0时，f（x）=（）x1，其在区间（2，6内的图象如右图，在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f（x）的图象与y=loga（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则loga（2+2）3，且loga（6+2）3解得，a（，2）故选D【点评】： 本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质根据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题二、填空题：本大题共5
12、个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11（5分）已知sincos=，（0，），tan=1【考点】： 同角三角函数间的基本关系【专题】： 计算题；三角函数的求值【分析】： 已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（）的值为1，由的范围，利用特殊角的三角函数值求出的度数，即可求出tan的值【解析】： 解：sincos=sin（）=，sin（）=1，（0，），=，即=，则tan=1【点评】： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键12（5分）若关于x的不等式|mx2|3的
13、解集为x|x，则m=6【考点】： 绝对值不等式的解法【专题】： 计算题；不等式的解法及应用【分析】： 利用关于x的不等式|mx2|3的解集为x|x，可得方程|mx2|=3的两根为、，代入即可求得m的值【解析】： 解：关于x的不等式|mx2|3的解集为x|x，方程|mx2|=3的两根为、，|m2|=3且|m2|=3m=6故答案为：6【点评】： 本题考查绝对值不等式的运用，考查不等式的解集与方程解之间的关系，属于基础题13（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线垂直于直线l：x2y5=0，双曲线的一个焦点在l上，则双曲线的方程为=1【考点】： 双曲线的标准方程【专题】： 计算题；圆锥曲线的
14、定义、性质与方程【分析】： 先求出焦点坐标，利用双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线垂直于直线l：x2y5=0，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程【解析】： 解：双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=5，即焦点坐标为（5，0），c=5，双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线垂直于直线l：x2y5=0，=2，c2=a2+b2，a2=5，b2=20，双曲线的方程为=1故答案为：=1【点评】： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题14（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为10，则输出s的值为40【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；
15、算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i，k的值，当i=11时，不满足条件i10，退出循环，输出s的值【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得n=10，i=2，k=1，s=3满足条件i10，s=6，i=5，k=2满足条件i10，s=15，i=8，k=3满足条件i10，s=40，i=11，k=4不满足条件i10，退出循环，输出s的值为40故答案为：40【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的s，i，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查15（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为1，2，若它们的侧面积相等，且的值为【考点】
16、： 棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出【解析】： 解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，=，=，它们的侧面积相等，=1，=，=（）2=故答案为：【点评】： 本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.16（12分）已知函数f（x）=sinxcosxc
17、os2x（0，xR）的图象上相邻两个最高点的距离为（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值【考点】： 余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【专题】： 解三角形【分析】： （）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可【解析】
18、： 解：f（x）=sin2x（1+cos2x）=sin（2x）1，f（x）图象上相邻两个最高点的距离为，=，即=1，则f（x）=sin（2x）1，（）令+2k2x+2k，kZ，得到+kxk+，kZ，则函数f（x）的单调递增区间为+k，k+，kZ；（）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C）1=0，即sin（2x）=1，2C=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC=，整理得：10a27=3a2，解得：a=1，则b=3【点评】： 此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键17（12分）已知数
19、列an前n项和Sn满足：2Sn+an=1（）求数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （I）利用递推式可得：再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）可得bn=，；利用“裂项求和”即可得出数列bn的前n项和为Tn，进而得到证明【解析】： （I）解：2Sn+an=1，当n2时，2Sn1+an1=1，2an+anan1=0，化为当n=1时，2a1+a1=1，a1=数列an是等比数列，首项与公比都为（II）证明：bn=，数列bn的前n项和为Tn=+=Tn【点评】： 本题考查了递推式的应用
20、、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）下表为某专业的学生的毕业综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知8090分数段的学生数为21人（）求该专业毕业生综合能力测试成绩在9095分数段内的人数；（）现欲将9095分数段内的毕业生派往甲、乙、丙三个单位，若向甲单位派往两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率分为求9095分数段内男女各几人？（）在（）的结论下，设随机变量表示派往乙单位的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布表；离散型随机变量及其分布列【专题】： 概率与统计【分析】：
21、（）由频率分布表求出8090分数段的毕业生的频率为0.35，由8090分数段的学生总数为21人，从而能求出毕业生的总人数为60，再求出9095分数段内的人数频率，由此能求出9095分数段内的人数（）9095分数段内共有6名毕业生，设其中男生x名，女生为6x名，设派往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，则P（A）=1=，由此能求出6名毕业生中有男生2人，女生4人（）表示6名毕业生中派往乙校的三名学生中男生的人数，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E【解析】： 解：（）由频率分布表知：8090分数段的毕业生的频率为：p1=0.2+0.15=0.35，8090
22、分数段的学生总数为21人，毕业生的总人数为N=60，9095分数段内的人数频率为：P=1（0.05+0.2+0.25+0.2+0.15+0.05）=0.19095分数段内的人数为600.1=6（）9095分数段内共有6名毕业生，设其中男生x名，女生为6x名，设派往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，则P（A）=1=，解得x=2或x=9（舍），6名毕业生中有男生2人，女生4人（）表示6名毕业生中派往乙校的三名学生中男生的人数，的可能取值为0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列为：E=0+1+2=1【点评】： 本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学
23、期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题19（12分）如图正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO=，且FO平面ABCD（）求证：AE平面BCF；（）求证：CF平面AEF；（）求二面角ACFB余弦值的大小【考点】： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （）取BC中点H，连结OH，则OHBD，由正方形性质得ACBD，从而OHAC，以O为原点，建立直角坐标系，利用向量法能证明AE平面BCF（）求出=0，=0，从而，由此能证明CF平面AEF（）
24、求出平面ACF的法向量和平面BCF的法向量，由此利用向量法能求出二面角ACFB余弦值的大小【解析】： （）证明：取BC中点H，连结OH，则OHBD，又四边形ABCD为正方形，ACBD，OHAC，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A（3，0，0），E（1，2，0），C（1，0，0），D（1，2，0），F（0，0，），=（2，2，0），=（1，0，），=（1，2，），设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（，1），又四边形BDEF为平行四边形，=（2，2，0）+（1，2，）=（3，3，），=34+=0，AE，又AE平面BCF，AE平面BCF（）证明：，=3+3=0，=3+
25、3=0，又AEAF=A，CF平面AEF（）解：OH平面ACF，是平面ACF的法向量，平面BCF的法向量为=（，1），设二面角ACFB的平面角为，cos=【点评】： 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用20（13分）已知函数f（x）=xln（x+a）（a0）的最小值为0（）求f（x）的解析式；（）若对任意x0，+）不等式f（x）x恒成立，求实数m的取值范围【考点】： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）f（x）=1，（a0），分别解出令f（x）0，令f（x）0，
26、即可得出函数f（x）单调性质；进而得出极小值点（）若对任意x0，+）不等式f（x）x恒成立ln（x+1）在x0，+）上恒成立设g（x）=ln（x+1）（x0）则g（x）=对m分类讨论：当m1时，当m1时，分别研究函数f（x）d的单调性即可得出【解析】： 解：（）f（x）=1，（a0），令f（x）0，解得x1a，此时函数f（x）单调递增；令f（x）0，解得ax1a，此时函数f（x）单调递减x=1a是函数f（x）的极小值点，即为最小值点，f（1a）=1a+ln1=0，解得a=1f（x）=xln（1+x）（x1）（）若对任意x0，+）不等式f（x）x恒成立，即ln（x+1）在x0，+）上恒成立设g（
27、x）=ln（x+1）（x0）则g（x）=当m1时，g（x）0，g（x）在0，+）上单调递增，又g（0）=0，g（x）0在0，+）上恒成立，即m1时，ln（x+1）在x0，+）上恒成立当m1时，对x（0，m1），g（x）0，g（x）在x（0，m1）上单调递减，g（m1）g（0）即当m1时，存在x0使得g（x）0，可知：ln（x+1）在x0，+）上不恒成立综上可得：实数m的取值范围是（，1【点评】： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（14分）已知椭圆C：+=1（ab0）的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为：1，点R（x0，y
28、0）是椭圆上任意一点，从原点O引圆R：（xx0）2+（yy0）2=2（x022）的两条切线分别交椭圆C于点M、N（）求椭圆C的方程；（）求四边形OMRN面积的最大值【考点】： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【专题】： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）利用椭圆C：+=1（ab0）的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为：1，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（）利用从原点O引圆R：（xx0）2+（yy0）2=2（x022）的两条切线分别交椭圆C于点M、N，求出k2=，切线方程与椭圆方程联立，求出OM+ON的最大值，即可求四边形OMRN面积的最大值【解析】： 解：（）椭圆C：+=1（ab0）的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为：1，c=，a=b，b=，a=椭圆的方程为；（）设切线方程为y=kx，不妨令切线OM斜率为k1，切线ON斜率为k2，则由=，可得，k1k2=，k2=，设M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，同理，OM+ON=+，令t=（t1）OM+ON=（+），（OM+OM）2=9+69+6=18，当且仅当t=，即=时取得最大值，S四边形OMRN=（OM+ON）=3【点评】： 本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查分析问题解决问题的能力转化思想的应用- 17 - 版权所有高考资源网
