1、随堂演练能力课时5 平抛运动、圆周运动的临界问题随堂演练突破一 平抛运动中的临界问题 1.有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。2.若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。3.若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。随堂演练【例1】(2015新课标全国卷，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图1所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不
2、同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()图1 随堂演练A.L12g6hvL1g6hB.L14ghv（4L21L22）g6hC.L12g6hv12（4L21L22）g6hD.L14ghv12（4L21L22）g6h解析 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度 v 最小时，球沿中线恰好过网，有：3hhgt212 L12 v1t1随堂演练联立得 v1L14gh当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有12 4L21L22v2t23h1
3、2gt22联立得 v212（4L21L22）g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为L14ghv12（4L21L22）g6h，选项 D 正确。答案 D 随堂演练规律总结 处理平抛运动中的临界问题要抓住两点(1)找出临界状态对应的临界条件。(2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题。随堂演练【变式训练】1.(多选)如图2所示，水平屋顶高H5 m，围墙高h3.2 m，围墙到房子的水平距离L3 m，围墙外马路宽x10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，小球离开屋顶时的速度v0的大小的可能值为(g取10 m/s2)()图2 A.6 m/s B.12 m/s
4、 C.4 m/s D.2 m/s 随堂演练解析 若v0太大，小球将落在马路外边，因此，要使小球落在马路上，v0的最大值vmax为球落在马路最右侧A点时的平抛初速度，如图所示，小球做平抛运动，设运动时间为t1，则 水平方向有 Lxvmaxt1竖直方向有 H12gt21解得 vmax(Lx)g2H13 m/s随堂演练若 v0 太小，小球将被围墙挡住，不能落在马路上，因此 v0 的最小值 vmin为球恰好越过围墙的最高点 P 落在马路上 B 点时的平抛初速度，设小球运动到 P 点所需时间为 t2，则此过程中水平方向有 Lvmint2，竖直方向有 Hh12gt22，解得 vminLg2（Hh）5 m/
5、s。由以上分析可知，选项 A、B 正确。答案 AB 随堂演练突破二 匀速圆周运动的临界问题 水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题。1.与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有 Fmmv2r，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。随堂演练2.与弹力有关的临界极值问
6、题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。随堂演练【例2】如图3所示，水平转台上放有质量均为m的两个小物块A、B，A离转轴中心的距离为L，A、B间用长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：图3(1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？(2)当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？随堂演练(1)转台的角速度较小时，向心力由什么力来提供？静摩擦力(2)物块A、B谁先达到最大静摩擦力？物块B(3)细线上何时开始出现张力
7、？物块B达到最大静摩擦力时(4)细线上有张力时，谁提供物块A、B的向心力，列出表达式？对A：FfAFm2rA_对B：FfmFm2rB(5)两物块何时开始滑动？物块A达到最大静摩擦力时开始滑动，即Ffmmg 随堂演练解析(1)细线上开始出现张力时，B 物块受到的静摩擦力刚好达到最大值，在此临界状态时，细线上的张力还是零。对 B 物块，由牛顿第二定律得 mgm21rB，rB2L，解得此时转台的角速度1grBg2L(2)当物块 A 刚要开始滑动时，A、B 受到的静摩擦力都达到最大值，设此时细线上的张力为 F，根据牛顿第二定律对 A，有 mgFm22rA，rAL对 B，有 Fmgm22rB，rB2L解
8、得 22g3L。答案(1)g2L(2)2g3L随堂演练方法提炼 解决此类问题的一般思路 首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态，其次分析该状态下物体的受力特点，最后结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。随堂演练【变式训练】2.(多选)(2014新课标全国卷，20)如图4，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()图4 随堂演练A.b 一定比 a 先开始滑动B.a、b 所受的摩擦
9、力始终相等C.kg2l是 b 开始滑动的临界角速度D.当 2kg3l 时，a 所受摩擦力的大小为 kmg随堂演练解析 木块 a、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力 Ff mkmg 相同。它们所需的向心力由 F 向m2r 知 FaFb，所以 b 一定比 a 先开始滑动，A 项正确；a、b 一起绕转轴缓慢地转动时，Ffm2r，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错误；b 开始滑动时有 kmgm22l，其临界角速度为 bkg2l，选项 C 正确；当 2kg3l 时，a 所受摩擦力大小为 Ffm2r23kmg，选项 D 错误。答案 AC 随堂演练突破三 竖直平面内圆周运
10、动的临界问题“轻绳、轻杆”模型 1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。随堂演练物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mgFNmv2RmgFNmv2R临界特征FN0mgmv2minR即 vmin gR
11、v0即 F 向0FNmg过最高点的条件在最高点的速度 v gRv0随堂演练【例 3】如图 5 所示，长为 L 的轻杆一端固定质量为 m 的小球，另一端固定在转轴 O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为92gL，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是()图5 随堂演练A.小球不能到达 P 点B.小球到达 P 点时的速度大于 gLC.小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向上的弹力D.小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向下的弹力随堂演练解析 要使小球恰能到达 P 点，由机械能守恒定律有：12mv2mg2L，可知它在圆周最低点必须具有的速
12、度为 v2 gL，而92gL2 gL，所以小球能到达 P 点；由机械能守恒定律可知小球到达 P 点的速度为12gL；由于12gL gL，故小球在 P 点受到轻杆向上的弹力。答案 C 随堂演练方法提炼 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 随堂演练【变式训练】3.(多选)如图6所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(g10 m/s2)()图6 A.2 m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s 随堂演练解析 解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运
13、动”所包含的两种情况：(1)小球通过最高点并完成圆周运动；(2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道。对于第(1)种情况，当 v0 较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是 mgmv2/r，又根据机械能守恒定律有12mv22mgr12mv20，可求得 v02 5 m/s，对于第(2)种情况，当 v0 较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有 mgr12mv20，可求得 v02 2 m/s，所以 v02 5 m/s 或v02 2 m/s 均符合要求，故选项 A、C、D 正确。答案 ACD 随堂演练1
14、.如图 7 所示，球网上沿高出桌面 H，网到桌边的距离为 L。某人在乒乓球训练中，从左侧L2处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘。设乒乓球的运动为平抛运动。则乒乓球()图7 A.在空中做变加速曲线运动 B.在水平方向做匀加速直线运动 C.在网的右侧运动的时间是左侧的2倍 D.击球点的高度是网高的2倍随堂演练解析 乒乓球击出后，在重力的作用下做平抛运动，其运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，A、B 错误；球在网的左侧和右侧通过的水平距离之比12LL v水平t1v水平t2t1t212，C 正确；设击球点到桌面的高度为 h，则击球点到网上沿的
15、高度与击球点到桌面的高度之比为hHh12gt2112g（t1t2）219，所以击球点的高度与网高度之比为hH98，D 错误。答案 C 随堂演练2.(多选)如图8所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45的斜面相碰。已知半圆形管道的半径R1 m，小球可看做质点且其质量为m1 kg，g取10 m/s2。则()图8 随堂演练A.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m B.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m C.小球经过管道的B点时，受到管道的作用力
16、FNB的大小是1 N D.小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N 随堂演练解析 根据平抛运动的规律，小球在 C 点的竖直分速度 vygt3 m/s，水平分速度 vxvytan 453 m/s，则 B 点与 C 点的水平距离为 xvxt0.9 m，选项 A 正确，B 错误；在 B 点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有 FNBmgmv2BR，vBvx3 m/s，解得 FNB1 N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项 C 正确，D 错误。答案 AC 随堂演练3.(多选)(2015浙江理综)如图9所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内
17、外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达AB线，有如图所示的、三条路线，其中路线是以O为圆心的半圆，OOr。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则()图9 随堂演练A.选择路线，赛车经过的路程最短 B.选择路线，赛车的速率最小 C.选择路线，赛车所用时间最短 D.、三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等 随堂演练解析 赛车经过路线的路程 s1r2r(2)r，路线的路程 s22r2r(22)r，路线的路程 s32r，A 正确；根据Fmaxmv2R 得 vmFma
18、xRm，可知 R 越小，其不打滑的最大速率越小，所以路线的最大速率最小，B 错误；三种路线对应的最大速率 v2v3 2v1，则选择路线所用时间 t1（2）rv1，路线所用时间 t2（22）r2v1，路线所用时间 t3 2r2v1，得 t2t1t3，可见 t3 最小，C 正确；由 Fmaxma，可知三条路线对应的 a 相等，D 正确。答案 ACD 随堂演练4.(多选)如图10所示，在水平转台上放一个质量M2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m1.0 kg的小球，当转台以5.0 rad/s的角速度转动时，欲使
19、木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是()图10 A.6 cm B.15 cm C.30 cm D.34 cm 随堂演练解析 转台以一定的角速度 旋转，木块 M 所需的向心力与回旋半径 r 成正比，在离 O 点最近处 rr1 时，M 有向 O 点的运动趋势，这时摩擦力 Ff 沿半径向外，刚好达最大静摩擦力 Ffm，即 mgFfmM2r1得 r1mgFfmM21.0106.02.05.02m0.08 m8 cm同理，M 在离 O 点最远处 rr2 时，有远离 O 点的运动趋势，这时摩擦力 Ff 的方向指向 O 点，且达到最大静摩擦力 Ffm，即 mgFfmM2r2得 r2mgFfmM21.0106.02.05.02m0.32 m32 cm则木块 M 能够相对转台静止，回旋半径 r 应满足关系式 r1rr2。选项 B、C 正确。答案 BC
