1、第6讲 不等式选讲 考纲要求考纲研读1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c；|xc|xb|a2了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明(1)柯西不等式向量形式：|(2)x1x22y1y22 x2x32y2y32 x1x32y1y32(通常称作平面三角不等式)3会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值4了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法.近几年的高考试题
2、增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度主要有两种方式：1线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围2基本不等式的应用：用于求函数或数列的最值，侧重“正”、“定”、“等”条件的满足条件.1常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以
3、断定原不等式成立(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB，先假设 AB，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定 AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法(5)放缩法：要证明不等式 A0，|f(x)|aaf(x)af(x)a.(2)理解绝对值的几何意义|a|b|ab|a|b|.x|1xb”，应假设为()AabBabCabDabD2(2010 年广东广州测试)若关于 x 的不等式|xa|1 的解集为_5(2010 年陕西)不等式|2x1|x|的解集为_x|x1 或 x2tan2.证明：欲证的不等式，即
4、为sincossincos2sin2cos2，即只需证sincoscos2sin2cos2.2 0，2，sin2 0.sin()2sin2 cos2.故只需证cos2coscos1cos2，只需证 cos22 coscos，即证1cos2coscos，即证 1coscossinsin2coscos，只需证 1cos()，结论显然成立故原不等式成立分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法用分析法论证
5、“若 A 则 B”这个命题的模式是：欲证命题 B为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为真，从而又只需证明命题A 为真，今已知A 真，故B 必真简写为：BB1B2BnA.考点4 利用放缩法证明不等式时应把握好度 例 4：已知 nN*，求证：1 122 132 1n22)证明：1n21nn1 1n11n，112 122 132 1n21141213 1n11n741nB，可适当选择一个C，使得CB，反之亦然主要应用于不等式两边差异较大时的证明一般的放缩技巧有：分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子多见于分式类不等式的证明添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于整式或
6、根式配方后需要放缩的不等式的证明考点5 解绝对值不等式A(0,2)B(，0)AC(2，)D.(，0)(0，)x2解析：考查绝对值不等式的化简绝对值大于本身，值为负数.x x2x 的解集是()(2011 年广东)不等式|x1|x3|0 的解集是_1，)解析：|x1|x3|0(x1)2(x3)2，原不等式的解集为1，)0，)为_ (2011 年江西)对于 xR，不等式|x10|x2|8 的解集解析：由题意可得x10，x10 x28 或102；(2)求函数yf(x)的最小值解析：(1)令 y|2x1|x4|，则yx5 x12，3x3 12x2 的解集为(，7)53，.(2)由函数 y|2x1|x4|
7、的图象如图 561 可知，当 x12时，y|2x1|x4|取得最小值92.【互动探究】1若不等式|x4|x3|7B1a1Da12(2010 年广东佛山检测)若不等式|xa|x2|1 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围为_.解析：设y|xa|x2|，则ymin|a2|，因为不等式|xa|x2|1对xR恒成立，所以|a2|1，解得：a3，或a1.1利用比较法证明不等式时，为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负2放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为
8、不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较常用的放缩技巧有：舍掉(或加进)一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；应用均值不等式进行放缩3特别注意：对于含绝对值的不等式，从 2010 年高考开始由选考内容改为必考内容，成为这两年高考的热点，特别是 2010年的压轴题就是绝对值不等式，应掌握绝对值不等式的解法和利用|a|b|ab|a|b|证明不等式的基本方法4含绝对值不等式的解法：等价转化法、分类讨论法及平方法5理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR).1分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析法的逆过程混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍要注意两种证明方法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误利用反证法证明问题是从否定结论入手的，没有使用假设命题而推出矛盾结果，其推理过程是错误的2应用定理|a|b|ab|a|b|求解基本问题时，要注意等号成立的条件特别注意不等式|ab|a|b|，当且仅当 ab0时，等号成立
