1、微专题24椭圆中与面积有关的取值范围问题1.点P是椭圆1上位于x轴上方的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若直线PF1的斜率为，则PF1F2的面积为_2已知椭圆C：x21，F为其上焦点，A为椭圆C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为_3已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，AMAN，且AMAN，则AMN的面积为_4已知A，B分别为椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点，直线ykx(k0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积最大值为3b2，则椭圆的离心率为_5过椭圆1上一点P作圆x2y22的两条
2、切线，切点分别为M，N，若直线MN为x轴、y轴分别交于点A，B，则OAB面积的最小值为_6椭圆两焦点分别为F1(4，0)，F2(4，0)，P为椭圆上动点，直线PF2与椭圆的交点为Q，若PF1Q面积的最大值为15，则该椭圆的标准方程为_7.如图，点A(1，)为椭圆1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点(1)求椭圆方程；(2)若直线AB，AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形求直线BC的斜率；求ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程8如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B，C两点，过B，C两点且分别与直线AB，AC垂
3、直的直线相交于点D.已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)求BCD面积的最大值微专题241答案：6.解析：由题意，F1(4，0)，F2(4，0)，那么直线PF1方程：y(x4)由消去y，得28x2200x3250，即(14x65)(2x5)0，方程组的解为或因为y0，所以yP.所以PF1F2的面积为SPF1F2F1F2|yP|86.2答案：1.解析：由题可知：F(1，0)，A(0，)，则直线lFAxm.四边形OAPF的面积为三角形OAF的面积与三角形AFP的面积其中SOAP|OA|OF|1恒为定值，而
4、四边形OAPF的面积最大即为当三角形AFP的面积最大时取到，而AFP面积最大时，即点P到直线AF的距离最大此时过点P的直线与直线AF平行且直线AF与椭圆相切设lp：yxm，联立4x22mxm220，由0得m24，又P在第一象限，m2.lp：yx2.两平行直线的距离为.d，SAFP|AF|d1.S四边形OAPF(1)1.3答案：.解析：椭圆E的方程为1，A点坐标为(2，0)，则直线AM的方程为yk(x2)联立并整理得(34k2)x216k2x16k2120，解得x2或x，则AM.因为AMAN，所以AN.因为AMAN，k0，所以，整理得(k1)(4k2k4)0，又4k2k40无实根，所以k1.所以
5、AMN的面积为AM2.4答案：.解析：如图，不妨设C在第一象限，设C(x0，y0)，则x0acos，y0bsin.那么ACD的面积为ay0，BCD的面积为bx0，所以四边形面积SACBDay0bx0ab(cossin)absinab3b2.所以，所以e.5答案：.解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则切线PM，PN方程分别为x1xy1y2，x2xy2y2，两直线均过点P，则有所以MN坐标满足方程xx0yy02，所以MN直线方程为x0xy0y2.所以A，B，所以SOAB.又因为12，所以|x0y0|4，即SOAB.6答案：1.解析：设椭圆方程为1(ab0)，且c4，设直
6、线PF2：xmyc，则由方程组得1，即y20.所以4.面积S2c|y1y2|c|y1y2|c.令t，则t1，则Sab，“”当且仅当t时成立因为t1，所以当cb，即b4时，当t时，S有最大值ab；当b4时，当t1时，S有最大值；令ab15，即a15，得a416a22250，解得a225(a29舍去)，b29(符合题意)；令15，即8a215a1280，解得a(15)，b2a9.46不合题意综上所述，此时椭圆方程为1.7答案：(1)1；(2)kBC，ABC面积取得最大值.此时，直线BC的方程为yx.解析：(1)把点A(1，)代入1得n6，故椭圆方程为1.(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与
7、x轴垂直因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k1，k2，由消去y，得(3k12)x22k1(k1)x(k1)260，点B的横坐标为x1(x1为点A的横坐标)，点B的纵坐标为y，即B.同理可得点C的坐标为.k1k20，直线BC的斜率为kBC.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC的方程为yxm，代入方程1得6x22mxm260，x1x2m，x1x2，BC|x1x2|2，又点A到直线BC的距离为d，SABCBCd，当m26，即m或m时，ABC面积取得最大值.此时，直线BC的方程为yx.8答案：(1)1；(2)证明略；直线方程为x3；(3)BCD面积的最大值为.解析：(1)由题意得，c，解得
8、a3，c，所以b2，所以椭圆E的标准方程为1.(2)设B(x0，y0)，C(x0，y0)，显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，设为k1，k2，k3，k4，则k1，k2，k3，k4.所以直线BD，CD的方程为y(xx0)y0，y(xx0)y0.消去y得(xx0)y0(xx0)y0，化简得x3，故点D在定直线x3上运动(3)由(2)得点D的纵坐标为yD(3x0)y0y0，又1，所以x029，则yD(3x0)y0y0y0，所以点D到直线BC的距离h为|yDy0|y0|，将yy0代入1得x3，所以BCD面积SBCDBCh6|y0|y0|，当且仅当1，即y0时等号成立，故y0时，BCD面积的最大值为.
