1、考纲要求考纲研读1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.用向量方法解决几何或物理问题的关键，是将有关量表示成向量的形式.第3讲 平面向量的应用举例 向量作为一种既有大小又有方向的量，既具有形的特点，又具有数的特性，因而成为联系数和形的有力纽带由于向量具有数的特性，因而向量容易成为初等数学中的函数、三角、数列、不等式等许多重要内容的交汇点，而且也可通过构造向量来处理许多代数问题1向量与三角函数的综合问题常结合向量的_与垂直、长度与_、三角函数的图象与性质、三角函数图象的平移等基本问题来考查平行夹角力速度2向量在物理学中的应用一般只要求了解
2、_与力矩、_与位移等物理矢量有关的简单问题B1将函数 y1x的图象按向量 a(1,2)平移后所得图象的解析式是()Ay 1x12 By 1x12Cy 1x12 Dy 1x122(2011 年广东揭阳水平测试)若 a(x,3)，b(x，2)，则AA充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件“x 6”是“ab”的()3设 a，b 是非零向量，若函数 f(x)(xab)(axb)是偶函数，则必有()CAabBabC|a|b|D|a|b|A4(2011 年广东广州二模)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 内一点，且满足 AP34 AB12 AD231A
3、A，则点 P 到棱AB 的距离为()A.56B.34C.134D.145125在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_.北偏西30 考点1 向量在三角中的应用 例1：(2011 年广东肇庆检测)已知向量 m(cosA，sinA)，n(2，1)，且 mn0.(1)求 tanA 的值；(2)求函数 f(x)cos2xtanAsinx(xR)的值域解析：(1)由题意得 mn2cosAsinA0，因为 cosA0，所以 tanA2.(2)由(1)知 tanA2 得，f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx2sin
4、x12232.因为 xR，所以 sinx1,1当 sinx12时，f(x)有最大值32；当 sinx1 时，f(x)有最小值3.故所求函数 f(x)的值域是3，32.(1)表达两个向量的数量积，可以用坐标处理，也可以用数量积的定义在三角函数中，数量积的这两种方法要加以判断再应用(2)三角函数中，将图象按照一向量平移，相当于作两次平移，一次左右平移，再一次上下平移【互动探究】1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cosA35，AB AC3.求ABC 的面积解：因为 cosA35，sinA45.又由AB AC3，得 bccosA3，bc5.SABC12bcsinA2.
5、考点2 向量在不等式中的应用 例2：证明：对于任意的a，b，c，dR，恒有不等式(acbd)2(a2b2)(c2d2)证明：设 x(a，b)，y(c，d)，则 xyacbd，|x|a2b2，|y|c2d2.又xy|x|y|cos，|xy|x|y|cos|x|y|，即|xy|x|y|.acbd a2b2 c2d2.(acbd)2(a2b2)(c2d2)(1)从结构上看，acbd看成是两个向量的数量积，a2b2，c2d2看成是向量的模的平方，从而有了利用向量证明不等式的一种方法(2)证明不等式时，还常用余弦函数的有界性，即|cos|1.【互动探究】22直线 axbyc0 与圆 x2y24 相交于两
6、点 A，B，若c2a2b2，O 为坐标原点，则OA OB_.解析：圆心 O 到直线的距离为|c|a2b21，AOB120，OA OB22cos1202.考点3 向量在物理中的应用 例3：如图 831，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上ACW150，BCW120，求 A 和 B 处所受力的大小(忽略绳子重量)图 831解析：设 A，B 处所受力分别为1F，2F，10 N 的重力用F 表示，则1F 2F F.以重力作用点 C 为1F，2F 的始点，作平行四边形 CFWE，使CW 为对角线，则CF 1F，CE2F，CW F.则ECW18015030，FCW18012060，
7、FCE90.四边形 CEWF 为矩形|CE|CW|cos3010 32 5 3，|CF|CN|cos6010125.A 处受力为 5 3 N，B 处受力为 5 N.(1)向量在物理学中的应用一般只要求了解与力、力矩、速度、位移等物理矢量有关的简单问题(2)解题时关键将两个力的起点放在同一点上考虑，转化为平行四边形边长问题【互动探究】1203三个力1F，2F，3F 的大小相等，且它们的合力为 0，则力2F与3F 的夹角为_.图D15解析：如图 D15，过点 O 作向量OA，OB，OC，使之分别与力1F，2F，3F 相等，由于1F，2F，3F 的合力为 0，则以 OC，OB 为邻边的平行四边形的对
8、角线 OD 与 OA 的长度相等又由于力1F，2F，3F的大小相等，|OA|OB|OC|OD|.则三角形 OCD 和三角形OBD 均为正三角形，COB120，即任意两个力的夹角均为120.考点4 向量的综合应用例 4：已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)，a 与 b 之间的关系满足|kab|3|akb|，其中 k0.(1)用 k 表示 ab；(2)求 ab 的最小值，并求此时 a 与 b 夹角 的大小解析：(1)a(cos，sin)，b(cos，sin)，|a|cos2sin21，|b|cos2sin21.|kab|3|akb|，(kab)23(akb)2，k2a22kabb23(
9、a22kabk2b2)8kab2k22.abk214k(k0)(2)k0，ab14k1k 142 k1k12.当且仅当 k1k，即 k1 时等号成立k1.ab 取得最小值12.此时 cos ab|a|b|12，0180，60.不会处理向量的模的问题，如对等式|kab|3|akb|不知如何处理主要原因是对模的两种处理方式不清楚实际上，模的处理有两种方式，第一，用坐标表示模：如 m(x0，y0)，则|m|x20y20.第二种，利用|m|2m2，即平方法1向量在力学方面的应用要注意将两个力的起点放在同一点上考虑，转化为平行四边形边长问题2有时要建立平面直角坐标系，将向量的数量积转化为坐标运算3向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛1一般来讲，在ABC 中，|AB AC|AB|AC|，要特别注意|AB AC|AB|AC|cosA|.2对于形如|ab|cd|的等式，常用平方法解决，即|a|22ab|b|2|c|22cd|d|2.
