1、2020届南大奥宇第三次月考考试数学学科试卷（高二）温馨提示，本试卷分为卷和卷，卷45分，卷105分。请在规定的时间内将卷和卷的答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。本场考试时间为 120 分钟，满分150分。祝同学们考试顺利。卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 命题“x(0,1)，x2x0”的否定是()A. x0(0,1)，x02x00B. x0(0,1)，x02x00C. x0(0,1)，x02x00D. x0(0,1)，x02x002. 设，c=30.7，则a，b，c的大小关系是( )A. abcB. cbaC. bcaD. bac3. 不等式2x25x30成立的一个必
2、要不充分条件是()A. x0B. x2C. x12D. x12或x34. 若x，yR+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )A. 5B. 245C. 235D. 1955. 若向量a=(2,0),b=(2,1),c=(x,1)满足条件3a+b与c共线，则x的值为( )A. 2B. 4C. 2D. 46. 以下命题中正确的是( )A. 以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥D. 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径为圆锥底面圆的半径7. 已知方程x2m2+ny23m2
3、n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A. (1,3)B. (1,3)C. (0,3)D. (0,3)8. 用一平面去截体积为43的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为( )A. 2B. 3C. 2D. 19. 已知数列an满足递推关系：an+1=anan+1，a1=12，则a2017=( )A. 12016B. 12017C. 12018D. 12019卷二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 已知直线经过点A(2,0)，B(5,3)，则该直线的倾斜角为_ 11. 已知命题p：nN，n2b0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心
4、率等于_三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 已知数列an的前n项的和为Sn，且Sn=2n+n-1，其中nN*()求数列an的通项公式；()若数列bn满足bn=2n(an-1)，求数列bn的前n项和Tn17. 如图，已知正方形ABCD和矩形BDEF在的平面互相垂直，AC交BD于O点，M为EF的中点，BC=2，BF=1()求证：BCAF;()求证：BM/平面ACE；()求二面角BAFC的大小18. 已知抛物线的标准方程是y2=6x(1)求它的焦点坐标和准线方程；(2)直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度19. 如图，边长为5的正方形ABCD与
5、矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别为AE，BC的中点，AF=4(1)求证：DA平面ABEF；(2)求证：MN/平面CDFE；(3)在线段FE上是否存在一点P，使得APMN？若存在，求出FP的长；若不存在，请说明理由20. 已知椭圆C：x2b2+y2a2=1(ab0)的离心率为32，椭圆C的长轴长为4(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y=kx+3与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由2020届南大奥宇第三次月考考试数学学科试卷参考答案（高二）1.【答案】B【解析】【分析】本题考查全称命题的否定为特称命
6、题，属于基础题根据“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述，“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可【解答】解：全称命题的否定是特称命题，命题“x(0,1)，x2x0”的否定是“x0(0,1)，x02x00”.故选B2.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用，属于基础题利用指数函数及对数函数的性质，借助中间量0或1即可求解【解答】解：0=log71a=log73log77=1，b=log13730=1，bac故选D3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分必要条件，考查不等式解法，属于基础题解题时，先求出不等式2x25x30的解集，再根据集合
7、的包含关系判断即可【解答】解：解不等式2x25x30得：x3或x12，不等式2x25x30成立的一个必要不充分条件可以是：x2，故选B4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于中档题将方程变形15y+35x=1，代入可得3x+4y=(3x+4y)(15y+35x)=135+3x5y+12y5x，然后利用基本不等式即可求解【解答】解：x+3y=5xy，x0，y0，15y+35x=1，3x+4y=(3x+4y)(15y+35x)=135+3x5y+12y5x135+23x5y12y5x=5，当且仅当3x5y=12y5x即x=
8、2y=1时取等号故选A5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，属于基础题先利用平面向量运算法则求出3a+b，再由向量共线的条件能求出x【解答】解：向量a=(2,0),b=(2,1),c=(x,1)，3a+b=(6,0)+(2,1)=(4,1)，3a+b与c共线，x14=0，解得x=4故选B6.【答案】A【解析】【分析】本题考查旋转体的结构特征，属于基础题根据空间几何体的结构特征进行判断【解答】解：对于A，由圆锥的定义可知A正确；对于B，若旋转轴不是直角梯形的直腰，则旋转体不是圆台，故B错误；对于C，若其余各面三角形没有公共顶点，则几何体不是棱锥，故C
9、错误；对于D，圆锥的侧面展开图的半径是圆锥的母线，故D错误;故选A7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的性质及其集合意义，考查了不等式的解法，属于基础题由已知可得c=2，讨论焦点在x轴上，利用4=(m2+n)+(3m2n)，解得m2=1，又(m2+n)(3m2n)0，从而可求n的取值范围，若焦点在y轴上，可得无解【解答】解：双曲线两焦点间的距离为4，则c=2，当焦点在x轴上时，可得4=(m2+n)+(3m2n)，解得：m2=1，则方程x2m2+ny23m2n=1表示双曲线，则(m2+n)(3m2n)0，可得(n+1)(3n)0，解得1n3，即n的取值范围是(1,3)当焦点在y轴上
10、时，可得4=(m2+n)+(3m2n)，解得m2=1，故无解故选A8.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的体积和点到平面的距离，属于基础题先求球的半径，再求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离【解答】解：球的体积，则球的半径是R=3，截面的面积为，则截面圆的半径是r=1，所以球心到截面的距离为R2r2=2故选C9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了数列递推关系，等差数列的概念和等差数列的通项公式，属于中档题利用数列递推关系，结合等差数列的定义得数列1an是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可【解答】解：an+1=anan+1，1an+11an=1，又a1=12，
11、数列1an是首项为2，公差为1的等差数列，1a2017=2+2016=2018，即a2017=12018，故选C10.【答案】135【解析】【分析】由两点的坐标求得直线AB的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角的值本题考查了直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题【解答】解：由A(2,0)，B(5,3)，可得直线AB的斜率k=032+5=1设直线AB的倾斜角为(0b0)相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得x12x22a2+y12y22b2=0，即2a2+(12)2b2=0，a=2b，c=a2b2=b，e=ca=22故答案为：2216.【答案】解：()当n=1时
12、，S1=21+11=2，故：a1=2当n2时，an=SnSn1=1+2n1，且a1=2符合上式故数列的通项公式为：an=1+2n1()由题可知，bn=2n(1+2n11)=n2n，则：Tn=12+222+n2n，2Tn=122+223+n2n+1，得：Tn=2+22+2nn2n+1，整理得：Tn=(1n)2n+12，则：Tn=2+(n1)2n+1【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题()直接利用递推关系式求出数列的通项公式;()利用乘公比错位相减法求出数列的和17.【答案】()证明：正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直，正方形ABC
13、D和矩形BDEF交于BD，又FBBD，FB平面ABCD，BC平面ABCD，FBBC，ABCD是正方形，BCAB，ABFB=B，AB，FB平面ABF，BC平面ABF，AF平面ABF，BCAF()证明：连结EO，AC交BD于O点，M为EF的中点，BM/EO，四边形BMEO是平行四边形，OE/BM，又BM平面ACE，OE平面ACE，BM/平面ACE()解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，B(2,2,0)，A(2,0,0)，F(2,2,1)，C(0,2,0)，AB=(0,2,0)，AF=(0,2,1)，AC=(2,2,0)，设平面CAF的法向量n=(x,y,z)，则
14、nAC=2x+2y=0nAF=2y+z=0，取x=2，得n=(2,2,2)，又平面ABF的法向量m=(1,0,0)，cos=28=12，=60，二面角BAFC的平面角为60【解析】本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于较难题()由已知得FB平面ABCD，所以FBBC，由正方形性质得BCAB，从而得到BC面ABF，由此能证明BCAF()连结EO，由已知得BMEO是平行四边形，由此能证明BM/平面ACE()以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BAFC的大小18.
15、【答案】解：(1)抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，p2=32，焦点为F(32,0)，准线方程：x=32；(2)直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45，直线l的方程为y=x32，代入抛物线y2=6x化简得x29x+94=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12故所求的弦长为12【解析】本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式属于基础题(1)抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)先根据题意
16、给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可19.【答案】证明：(1)ABCD是正方形，DAAB，又平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEF=AB，DA平面ABCDDA平面ABEF(2)连接FB、FC.ABEF是矩形，M是AE的中点，M是BF的中点，又N是BC的中点，MN/CF，而MN平面CDFE，CF平面CDFE，MN/平面CDFE(3)过点A作AGFB交线段FE于点P，则点P即为所求，CB平面ABEF，AP平面ABEF，CBAP，又APFB，CBFB=B，AP平面BMN，又MN平面BMN.APMN，AFPBAF，FPAF=AFAB=45，而A
17、F=4,AB=5，FP=165【解析】本题考查直线与平面垂直的证明，直线与平面平行的判定定理的应用，空间点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力(1)证明DAAB，利用平面与平面垂直的性质定理证明DA平面ABEF(2)连接FB、FC，证明MN/CF，然后证明MN/平面CDFE(3)过点A作AGFB交线段FE于点P，则点P即为所求说明AFPBAF，转化求解FP即可20.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，则由题设，得：2a=4e=ca=32,解得a=2c=3,所以b2=a2c2=43=1，故所求椭圆C的方程为y24+x2=1(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O理
18、由如下：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l的方程y=kx+3代入y24+x2=1，并整理，得(k2+4)x2+23kx1=0，(*)易知0，则x1+x2=23kk2+4，x1x2=1k2+4，因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以OAOB=0，即x1x2+y1y2=0又y1y2=k2x1x2+3k(x1+x2)+3，于是1+k2k2+46k2k2+4+3=0，解得k=112，所以当k=112时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O【解析】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件，难度中档(1)设椭圆的半焦距为c，则由题设，得：2a=4e=ca=32，解得a，c的值，即可求出b的值，从而可得椭圆C的方程；(2)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l的方程y=kx+3代入y24+x2=1，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值
