1、数学参考答案 第 1页（共 7页）绝密启用前数学参考答案1.【答案】D【解析】|(1)(8)01 8Axxx，2 10B，2 8AB，1 10U，()1 2)(8 10U AB，2.【答案】A【解析】12iz ，05(1 i)5(1 i)(12i)5(1 3i)2(12i)24i24i1 7i1 2i(1 2i)(12i)5z ，20|175 2z 3.【答案】A【解析】若|1a ，|1b，则21a，21b ，22(1)(1)0ab若22(1)(1)0ab，则21a，21b ，或21a ，21b 当21a ，21b 时，|1a ，|1b 所以命题“|1a ，|1b”是命题“22(1)(1)0a
2、b”的充分不必要条件故选 A4.【答案】B【解析】由统计表得，100g 大米和100g 小麦面粉中，小麦面粉只有水分与碳水化合物两项指标略低于大米，其余 8 项指标均比大米高，所以小麦面粉营养略高于大米营养5.【答案】C【解析】根据条件，1tan2，2111cos212cos112sin 2tan 2sin 2sin 22sincostan6.【答案】D【解析】当，时，与 可以相交，即 A 错误；当 与 相交时，设交线为 n，只要l 不在 内又不在 内，若ln，就有l，l，所以 B 错误；当 与 相交时，设交线为 n，若l，m 都是内与 n 平行的直线，则l，m，所以 C 错误；若l，m，如果
3、 与 相交，那么 与 所成锐二面角或直二面角与l，m 所成角相等，这与lm矛盾，所以 D 正确.7.【答案】A【解析】在ABC中，由正弦定理得sinsinbCcB，由于2 3sin3cbC，3sin2B 02B，3B，即23AC22()233ACAAA根据条件得203A，23AC231cos()12AC 所以 A 正确8.【答案】B【解析】设正方形 ABCD 的中心为O，由于四棱锥 SABCD所有棱长都相等，所以 SO 底面 ABCD 3 2AB，3AO，3 2SA，SO3球 S 与底面只有一个公共点，SO 就是球 S 的半径，长为3四个侧面均为等边三角形，球 S 被每个侧面截得的弧长为 33
4、，所以球 S 被该四棱锥所有面截得的弧长之和为49.【答案】ACD【解析】根据图象得362，解得2，()2sin(2)6f xx()0f xm有四个不同的根如图所示，根据对称性得142323xxxx，3453xx，45463x，458233x，2143xxxx当13x ，20 x，323x，4x 时，1x，2x，3x，4x 不成等差数列由于123()()()f xf xf x4()f xm，1()f x，22()f x，33()f x，44()f x是以 m 为首项，m 为1xy2xO32x3x4xym数学参考答案 第 2页（共 7页）公差的等差数列12341234(xxxxx234233)(
5、)(xxxxxx44)2xx的取值范围是 1619()33，故 B 错误，ACD 正确10.【答案】BC【解析】1 )ab ，()()()f af bf ab，当0 x 时，()1f x，当0 x 时，()(0)f xf x()(0)1f xf，(0)1f 1 0)x ，()()(0)1f xfxf，()0f x 1 )x ，()f x0当211xx时，210 xx，21()1f xx，21()()f xf x1211()()()f xf xxf x121()()10f xf xx，21()()f xf x，即()f x 在区间 1 )，上单调递增(1)f x 在集合|1x x，或1x上是偶函
6、数，曲线()yf x在(20 )，上关于直线1x 对称()f x在区间(2，上单调递减又12a，1111()()()(1)nnnnf aff afaa，111nnaa，或113nnaa 若111nnaa，则111nnaa ，3211111111111111nnnnnnaaaaaa ，100a12a 不等式100()()f xf a的解集为(42 )，211122a ，311112a ，712aa，11a212a，371132aaa若113nnaa ，则21312a ，舍所以 AD 错误，BC 正确11.【答案】BD【解析】先假设点 A，B 固定，即OA与OB夹角 是定值设点 A 关于O 的对称
7、点为1A，由|OAOC|OA OB 得，11|()|OCOAOCOAACOA OB ，点C 的轨迹是以1A 为圆心，以|OA OB 为半径的圆A 错误（若点 A，B 不固定，结论 A 错误）|1OA，|2OB，点 A，点 B 在以O 为圆心，分别以1，2 为半径的圆上，max|3ABB 正确当点 A，B 固定且0 时，|2OA OB，1A 在以O 为圆心，以1为半径的圆上，点 A 在点C 的轨迹上，即min|0ACC 错误由于|BC的最大值为1|BAOA OB，最小值为1|BAOA OB|1OA，|2OB，根据假设，22111|2|cos()54cosBAOAOBOAOB|2|cos|OA O
8、B，max|BC54cos2|cos|，min|54cos2|cos|BC如果点 A，B 不固定，则 是变量，且0，当0 时，max|BC取得最大值为5，当16cos2时，min|BC取得最小值为0 所以 D 正确12.【答案】AC【解析】由()()f xxfxx得()()1f xfxx，设()()f xg xx，则2()()()xfxf xg xx2()1()1f xxf xxxx设c 为常数，则1(ln)xcx，()lng xxc，()()lnf xxg xxxcx(1)1f，(1)0f，0c，所以()lnf xxx，()ln1fxx 当10ex时，()0fx，数学参考答案 第 3页（共
9、7页）()f x 单调递减，当1ex 时，()0fx，()f x 单调递增1()0ef，()f x 在 x 1e时取得最小值1e，()f x 无最大值A 正确，B 错误，C 正确由()lnf xx得 lnlnxxx，(1)ln0 xx当01x时，10 x ，ln0 x，(1)ln0 xx当1x 时，(1)ln0 xx当1x 时，10 x ，ln0 x，(1)ln0 xx因此不等式(1)ln0 xx即()lnf xx的解集是 所以 D 错误13.【答案】【解析】(3)cos2aba，23cos2aa b，23|coscos2aab|1a，|2b，232cos2cos1，解得cos1(cos2 已
10、舍)，0，14.【答案】83【解析】长方形中最大圆的直径是这个长方形较短的边长所以如果底面在边长为 2，4 的长方形内，则圆锥的体积为 16=23 如果底面在边长为 2，6 的长方形内，则圆锥的体积为 144=33 如果底面在边长为 4，6 的长方形内，则圆锥的体积为21822=33 15.【答案】5【解析】当0 x 时，()exf xx，()(1)e0 xfxx，()f x 单调递增当0 x 时，()exf xx，()fx(1)exx，若1x ，则()0fx，()f x 单调递增，若 10 x，()0fx，()f x 单调递减，因(1)0f ，()f x 在1x 时取得极大值 1e由222e
11、 ()3e()10f xf x 得1()ef x，或1()2ef x 由于(0)0f，x 时，()0f x，x 时，()f x 所以直线1ey 与直线12ey 与曲线()yf x分别有两个交点和三个交点，即方程1()ef x 有两个根，1()2ef x 有三个根所以原方程共有5个根16.【答案】22【解析】设 ACx，CAD，ACD，则2ABx，在ACD中，由余弦定理得cos 2222324ACADCDxAC ADx，22223cos22CACDADxAC CDx2sin1 cos221(5)164xx ABD的面积ABDS1sin()24AB AD22213sincos16(5)44xxxx
12、根据条件得02，33012xx，解得33x，239x构造函数2()16(5)f xxx，则25()116(5)xfxx，由()0fx得152 2x，2x 52 2252 23x，2x 舍当352 2x时，()0fx，()f x 单调递增；当52 29x时，()0fx，()f x 单调递减当252 2x 时，2221316(5)44xx取得最大值，且最大值为2217.【解析】（1）向量 i，j 不共线，向量1nnaa ij与向量1(1)(1)nnaa ij共线，11(1)(1)nnnnaaa a，即111()()nnnnnnaaaaaa，3 分0na，11nnaa na是以1为首项，1为公差的等
13、差数列，数学参考答案 第 4页（共 7页）nan5 分（2）()1xf xx，121111 12 1(1)1nnnbnnn nnn 8 分11111111(1)()()()12233411nTnnn，所以1nT 10 分18.【解析】（1）(12)sincos (12)sincos xxxx(sincos)2 sin (sincos)2 sin xxxxxx22(sincos)2sinxxx1 分222sin2sincoscos2sinxxxxx212sinsin 2xx 2 分cos2sin 2xx3分2 cos(2)4x，()2 cos(2)4f xx 4 分T 5 分当且仅当2 22()
14、4kxkkZ，即3()88kxkkZ时，()f x 单调递减，所以()f x 单调递减区间为3 ()88kkkZ，6 分（2）由于3()14Af ，根据（1）得32 cos(2)144A ，02A，3A，23C 7 分分别设 ABa，ADb，BCc，CDd因2BD，分别在ABD和CBD中由余弦定理得222cos43abab，2222cos43cdcd，224abab，224cdcd 8 分222abab，222cdcd，等号在2ab，2 33cd时成立，42abab，42cdcd，解得04ab，403cd9 分1603abcd等号在2ab，2 33cd时成立，10 分113sinsin()22
15、4SabAcdCabcd，11 分所以 S 的取值范围是4 3(0 3，12 分19.【解析】（1）甲选择不带汤食物，这四人的选择方法总数为1336C，133461()62CP B2 分若甲选择蒸饺，则四人中恰有二人选择面的方法总数为22132496CC若甲干拌面条或干拌面块，则四人中恰有二人选择面的方法总数为112234 296C C 496964()627P AB4 分数学参考答案 第 5页（共 7页）所以4()827(|)1()272P ABP A BP B 6 分（2）由题意得 所有可能取值为0，1，2，3 7 分3348(0)627P ，12332 44(1)69CP ，223324
16、2(2)69CP，3321(3)627P 9 分 的分布列为10 分8421()01231279927E 12 分20.【解析】(1)连接1PC，延长1PC 交 AB 于点2C，连接1PB，延长1PB 交 AC 于点2B，分别连接2CC，2BB，22B C,则22BBCCO1 分三棱锥 PABC所有棱长都相等，O 为正ABC的中心，且2C，2B 分别是 AB，AC 中点22COOC2 分作1OECC交2PC 于点 E，则122C EEC 3 分 D 是 PO 中点，11PCC E1225PCPC 4 分同理，1225PBPB 1122B CB C 5 分11B C 平面 ABC，22B C 平
17、面 ABC，11B C 平面 ABC 6 分(2)根据条件得2BBAC，2POBB，POAC分别以过O 平行于CA 的直线为 x 轴，以直线OB 为 y轴，以直线OP 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设|5AB，则55 3(0)26A，13(0 6)3B，113(6)26C，5 6(0 0 )3P，8 分153(6)22AB ，1(2 3 6)AC ，55 35 6()263AP ，9 分设()xyz，m是平面11AB C 的一个法向量，则1ABm，1ACm，10ABm，10ACm，5360 222360 xyzxyz，不妨取6x，得(6 2 3)，m 10 分BACPDO1C
18、1B2C2BxyzE0123P8274929127数学参考答案 第 6页（共 7页）55 35 66()23102263cos 51|175APAPAP ，mmm所以直线 AP 与平面11AB C 所成角的正弦值为1025112 分21.【解析】（1）当直线:bl yxma经过椭圆 E 的左顶点(,0)a时，mb，此时l 的方程为0bxayab2 分椭圆 E 的左焦点(,0)c与右焦点(,0)c到直线l 的距离分别为22abbcab，22abbcab3 分由题意可得，5abbcabbc，解得32ca，椭圆 E 的离心率23cea 4 分（2）32ca，22259aca，即2259ba，53ba
19、 5 分直线l 的方程为53yxm，3(,0)5mC，(0,)Dm 6 分设椭圆 E 的方程为221(0)95xynnn，11(,)A x y，22(,)B xy将代入并化简得，2222 5109155mmxxnnn 222 58()(1)01595mmnnn，123 55mxx，21299102mnx x 7 分22|14ACBC，222211223535()()()()143355mmxxmxxm，22121212121462 528()2()()149355mmmxxx xxxxx，2222214 991828(9)21495555mmmmnm，141n，即1n ，10 分2222221
20、122|()()ADBDxymxym，222222211221212551414|()()()29143399ADBDxxxxxxx xn，即22|14ADBD12 分22.【解析】（1）)2121)(ln1()(xxxxf，设2121ln)(xxxh，则)(xf的零点就是)(xh的零点，1 分211)(xxh，令0)(xh，则2x.当(0 2)x，时，0)(xh，)(xh单调递增，当(2 )x，时，0)(xh，)(xh单调递减，所以2x是)(xh的极大值点，且0)14(ln21212ln)2(h，3 分因为0)1(h，故11 x是)(xh在区间)2,0(的唯一零点，4 分又因为02e5)e(
21、22h，故存在唯一22(2 e)x，为)(xh的零点，数学参考答案 第 7页（共 7页）所以)(xh有两个零点，即)(xf有两个零点.6 分（2）由)2121)(ln1()(xxxxf知0 x 根据条件(ln)fx 有意义，ln0 x，1x设221e221)1ln()e()1()(xxxxxxgxfx，则)1(lne2)1(ln)1(ln21)11ln(ln)1(ln)()(ln21ln2xxxxxxgxfx，且1e1)1ln()(2xxxxxx.8 分设)()(xx，则1e)1(21e)1(111)(2222xxxxxxx，0)2(，当)2,1(x时，0)(x，)(x单调递减，当),2(x时，0)(x，)(x单调递增，故)()(xx012e122)12ln()2(22，)(x单调递增.10 分设xxxu1ln)(，则xxxu1)(，当1x时，0)(xu，)(xu单调递减，所以当1x时，0)1(1ln)(uxxxu，即xx1ln，故)()1(lnxx，即)()1()e()(ln1xgxfgxfx.12 分
